Kinetische Energie

Grundidee und klassische Formel

Kinetische Energie, auch Bewegungsenergie, ist die Energie eines Objekts aufgrund seiner Bewegung. Sie entspricht der Arbeit, die nötig ist, um das Objekt aus der Ruhe in seine momentane Bewegung zu versetzen. Sie hängt von Masse und Geschwindigkeit ab; ihr Formelzeichen ist häufig T oder E_{\mathrm{kin}}, die SI-Einheit ist das Joule (J).

Für einen Massenpunkt der Masse m und Geschwindigkeit v gilt in der klassischen Mechanik:

E_{\mathrm{kin}}=\frac{1}{2}mv^2.

Die Energie steigt also proportional mit der Masse, aber mit dem Quadrat der Geschwindigkeit. Ein Auto mit m=1000\,\mathrm{kg} und v=108\,\mathrm{km/h}=30\,\mathrm{m/s} besitzt E_{\mathrm{kin}}=450.000\,\mathrm{J}. Wird statt der Geschwindigkeit der Impuls p=mv verwendet, lautet die Formel E_{\mathrm{kin}}=\frac{p^2}{2m}.

Arbeit, Bewegung und Koordinaten

Die Beschleunigungsarbeit W erhöht die kinetische Energie. Bei geradliniger Bewegung mit konstanter, zur Bewegungsrichtung gleichgerichteter Kraft gilt W=Fs. Mit dem Zweiten Newtonschen Gesetz F=ma, v=at und s=\frac{1}{2}at^2 folgt W=\frac{1}{2}mv^2. Da ein ruhender Körper anfangs kinetische Energie null hat, ist dies seine kinetische Energie nach der Beschleunigung.

Ist die Kraft längs einer Geraden veränderlich, wird die Arbeit mit dem Wegintegral W=\int_{x_a}^{x_e}F(x)\,\mathrm{d}x berechnet. Daraus folgt allgemein W=m(\frac{1}{2}v_e^2-\frac{1}{2}v_a^2): Die Arbeit ist also die Änderung der kinetischen Energie.

Bei einer Bewegung entlang einer Kurve gilt entsprechend W=\int_A^E\vec F\cdot\mathrm{d}\vec s. Das Skalarprodukt berücksichtigt dabei nur den Kraftanteil in Bewegungsrichtung. Es ergibt sich W=m(\frac{1}{2}|\vec v(t_E)|^2-\frac{1}{2}|\vec v(t_A)|^2).

In kartesischen Koordinaten (x,y,z) lautet die Energie E_{\mathrm{kin}}=\frac{1}{2}m(\dot x^2+\dot y^2+\dot z^2). Der Punkt über einer Koordinate bedeutet ihre zeitliche Ableitung. In ebenen Polarkoordinaten (r,\varphi) gilt E_{\mathrm{kin}}=\frac{1}{2}m(\dot r^2+r^2\dot\varphi^2). Diese Formeln erfassen keine mögliche Eigenrotation des Körpers.

Starre Körper und strömende Flüssigkeiten

Bei einem starren Körper setzt sich die kinetische Energie aus der Translationsenergie, also der Bewegung seines Schwerpunktes, und der Rotationsenergie um den Schwerpunkt zusammen:

E_{\mathrm{kin}}=\frac{1}{2}Mv_s^2+\frac{1}{2}J_s\omega^2.

Hier sind M die Gesamtmasse, v_s die Schwerpunktgeschwindigkeit, J_s das Trägheitsmoment bezüglich des Schwerpunktes und \omega die Winkelgeschwindigkeit. Mit dem Trägheitstensor I lautet die allgemeine Schreibweise E_{\mathrm{kin}}=\frac{1}{2}Mv_s^2+\frac{1}{2}\boldsymbol\omega^T I\boldsymbol\omega.

In der Hydrodynamik verwendet man oft die kinetische Energiedichte, also Energie pro Volumen: e_{\mathrm{kin}}=\frac{E_{\mathrm{kin}}}{V}=\frac{1}{2}\rho v^2. Dabei ist \rho die Dichte und V das Volumen.

Relativistische und quantenmechanische Beschreibung

Bei Geschwindigkeiten deutlich kleiner als die Lichtgeschwindigkeit c ist die klassische Formel eine gute Näherung. Relativistisch ist die kinetische Energie die Differenz aus Gesamtenergie und Ruheenergie:

E_{\mathrm{kin}}=(\gamma-1)mc^2, mit \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-(v/c)^2}}.

Die Entwicklung E_{\mathrm{kin}}=\frac{1}{2}mv^2+\frac{3}{8}\frac{mv^4}{c^2}+\cdots liefert für v\ll c die klassische Formel. Für v\to c wächst E_{\mathrm{kin}} unbegrenzt; ein massebehafteter Körper kann daher nicht auf Lichtgeschwindigkeit beschleunigt werden. Da die Geschwindigkeit vom Bezugssystem abhängt, gilt dies auch für die kinetische Energie.

Ein Elektron gewinnt beim Durchlaufen einer Beschleunigungsspannung U die Energie eU=E_{\mathrm{kin}}=E-E_0, wobei E_0=0{,}511\,\mathrm{MeV} seine Ruheenergie ist. Unterhalb von 1\,\mathrm{kV} kann klassisch abgeschätzt werden; bei 10\,\mathrm{kV} erreicht es fast 20 % von c, bei 1\,\mathrm{MV} 94 %. Der Large Hadron Collider beschleunigt Protonen auf 6{,}5\,\mathrm{TeV} kinetische Energie, etwa achttausend Mal ihrer Ruheenergie.

In der Quantenmechanik ist der Erwartungswert der kinetischen Energie eines Teilchens \langle\hat E_{\mathrm{kin}}\rangle=\frac{1}{2m}\langle\psi|\hat P^2|\psi\rangle. |\psi\rangle ist die Wellenfunktion, \hat P^2 das Quadrat des Impulsoperators. In der Dichtefunktionaltheorie ist das exakte kinetische Energie-Funktional für N Elektronen unbekannt. Für N=1 lautet das Weizsäcker-Funktional E_{\mathrm{kin}}[\rho]=\int\frac{1}{8}\frac{\nabla\rho(\mathbf r)\cdot\nabla\rho(\mathbf r)}{\rho(\mathbf r)}\,\mathrm{d}^3r.