Äquivalenz von Masse und Energie – einfach erklärt

Kernaussage und Bedeutung

Die Äquivalenz von Masse und Energie ist ein 1905 von Albert Einstein im Rahmen der speziellen Relativitätstheorie entdecktes Naturgesetz. Sie besagt, dass die Masse m eines Objekts seiner Ruheenergie E₀ proportional ist:

E₀ = mc².

c ist die Lichtgeschwindigkeit. Wegen des sehr großen Umrechnungsfaktors c² ≈ 9·10¹⁶ m²/s² entsprechen schon kleinste Massenunterschiede großen Energiemengen. Umgekehrt führen die im Alltag üblichen Energieumsätze nur zu kaum messbaren Massenänderungen.

Bei zusammengesetzten Objekten ist die Masse nicht einfach die Summe der Massen aller Bestandteile. Auch innere Energie, etwa Bewegungsenergie der Bestandteile, potenzielle Energie oder Feldenergie, trägt zur Masse bei. Besonders deutlich wird dies in Kern- und Teilchenphysik: Atomkerne besitzen wegen ihrer Bindungsenergie eine geringere Masse als ihre ungebundenen Kernbausteine. Bei der Annihilation eines Elektrons mit einem Positron kann die in ihren Massen enthaltene Energie überwiegend vollständig als elektromagnetische Strahlung erscheinen. Die Äquivalenz wurde in vielen Tests der relativistischen Energie-Impuls-Beziehung mit hoher Genauigkeit bestätigt.

Masse, Ruheenergie und Bewegung

Die spezielle Relativitätstheorie beschreibt Masse und Energie durch die Energie-Impuls-Relation:

E² = m²c⁴ + p⃗²c².

E ist die Gesamtenergie, p⃗ der Impuls und m die Masse. Daraus folgt:

m = √[(E/c²)² − (p⃗/c)²].

Im vierdimensionalen Minkowski-Raum ist die Masse die Norm, also der Betrag, des Energie-Impuls-Vektors; Energie ist seine zeitliche Komponente. Energie und Impuls hängen vom Bezugssystem ab. Im Schwerpunktsystem eines Objekts ist p = 0; dort gilt E₀ = mc². In der Kern- und Teilchenphysik werden Massen deshalb häufig in Energieeinheiten wie MeV statt MeV/c² angegeben.

Für ein Objekt mit Geschwindigkeit v gelten E(v) = γmc² = γE₀ und p⃗(v) = γmv⃗. Der Lorentz-Faktor ist γ = 1/√(1 − v²/c²). Die Gesamtenergie besteht aus Ruheenergie und kinetischer Energie. Bei kleinen Geschwindigkeiten v ≪ c ergibt sich Ekin = (γ − 1)E₀ ≈ ½mv², also die klassische Formel für Bewegungsenergie.

Die Masse m bleibt jedoch unabhängig vom Bezugssystem und von der Geschwindigkeit: Sie ist eine Lorentz-Invariante. Daher trägt die translatorische kinetische Energie eines bewegten Objekts nicht zu dessen Masse bei. Die ältere Konvention der „relativistischen Masse“ mrel = γm₀ deutet dagegen die gesamte Energie als E = mrelc². Sie ist vom Bezugssystem abhängig und wird in der modernen Physik nur noch selten verwendet. Soll m die invariante Masse bedeuten, muss E = mc² als Aussage über die Ruheenergie verstanden werden: E₀ = mc².

Innere Energie und zusammengesetzte Systeme

Die Masse eines zusammengesetzten Systems ist nicht additiv: Sie umfasst neben den Ruheenergien seiner Bestandteile auch dessen innere Energie. Dazu zählen die kinetische Energie der Bestandteile relativ zum Schwerpunkt und Feldenergie.

Wird ein Körper von außen erwärmt, erhöht die zugeführte Energie seine Masse; die Massen seiner einzelnen Atome ändern sich dabei nicht. Erwärmt sich ein abgeschlossenes System durch eine interne chemische Reaktion, bleibt seine Gesamtmasse dagegen unverändert. Auch Energiezufuhr, die einen Körper in Rotation versetzt, erhöht seine Masse: Die Rotationsenergie ist innere kinetische Energie im Ruhesystem des Körpers.

Werden zwei entgegengesetzt geladene Körper durch äußere Energiezufuhr voneinander entfernt, wächst die Masse des Gesamtsystems aus beiden Körpern und elektrischem Feld, nicht aber die Masse der einzelnen Körper. Entsprechend gehört beim Anheben eines Steins die zunehmende potenzielle Energie zum System „Erde + Stein“.

Auch ein nicht gebundenes Teilchensystem kann eine invariante Masse M haben. Für alle gleichzeitig beteiligten Teilchen gilt:

M²c⁴ = (ΣᵢEᵢ)² − (Σᵢp⃗ᵢ)²c².

Im Schwerpunktsystem ist Σᵢp⃗ᵢ = 0. Dann entspricht E = Mc² der Summe E = ΣᵢEᵢ aller Komponenten. Die oft verwendete Formulierung „Umwandlung von Masse in Energie“ ist ungenau: Es wird Ruheenergie in andere Energieformen umgewandelt. Gibt ein System Energie ab, sinken seine Energie und Masse; beim aufnehmenden System steigen beide im gleichen Umfang.

Folgen im Alltag sowie in Kern- und Teilchenphysik

Im Alltag sind Massenänderungen wegen des großen Faktors c² extrem klein. Erwärmt man einen Kubikmeter Wasser mit der Masse 1 t um 50 °C, steigt seine Masse um 2,3 μg; das ist eine relative Zunahme von 2.3e⁻¹². Bei der Verbrennung von 1 kg Kohle mit 2,7 kg Sauerstoff ist die Masse des Endprodukts CO₂ um 0,36 μg beziehungsweise 10⁻¹⁰ relativ kleiner als die Masse der Ausgangsprodukte. Eine vollständig geladene 75-kWh-Antriebsbatterie mit einer Masse von 500 kg ist etwa 3 μg schwerer, relativ 6e⁻¹². Chemie, Technik und klassische Physik vernachlässigen solche Unterschiede daher meist und verwenden näherungsweise die Massenerhaltung.

In Atomkernen ist der Massendefekt deutlich. Die Masse eines ¹²C-Kerns liegt um 0,8 % unter der Summe seiner Protonen und Neutronen. Beim Alphazerfall von Samarium-146 zu Neodym-142 und einem Helium-4-Kern werden 2,5 MeV kinetische Energie frei; die kombinierte Masse von Neodym-142 und Helium-4 ist deshalb um 2,5 MeV/c² oder den Bruchteil 1.8e⁻⁵ kleiner als die von Samarium-146.

Bei der Spaltung von Uran-235 sind die Massen der Bruchstücke zusammen etwa 0,1 % kleiner als die Masse des ursprünglichen Urankerns und des auslösenden Neutrons. Die entsprechende Energie kann als Explosion oder Wärme auftreten; bei der Hiroshima-Bombe betrug die Massenabnahme etwa 0,7 g. Bei der Fusion von Wasserstoff zu Helium im Inneren der Sonne sinkt die Masse der Reaktionspartner um 0,8 %. Die Sonne verliert dadurch rund 4 Millionen Tonnen Masse pro Sekunde.

Ein Elektron oder Positron besitzt die Masse 9.1e⁻³¹ kg und die Ruheenergie 511 keV. Bei ihrer Annihilation entstehen zwei oder drei masselose Gammaquanten mit zusammen 1022 keV; bei hoher kinetischer Energie ist die umgesetzte Energie größer. Umgekehrt kann Gammastrahlung mit Eγ > 1022 keV Elektron-Positron-Paare erzeugen.

Herleitung, Gravitation und Überprüfung

Einsteins Gedankenexperiment von 1905 betrachtet einen zunächst ruhenden Körper, der zwei gleich energiereiche Lichtblitze mit je ½Eph in entgegengesetzte Richtungen aussendet. Ihre Impulse sind entgegengesetzt, daher bleibt der Körper im Ruhesystem in Ruhe. Seine Energie sinkt von Evor auf Enach = Evor − Eph.

In einem zweiten Bezugssystem bewegt sich der Körper mit Geschwindigkeit v. Die beiden Lichtblitze sind dort wegen Rot- und Blauverschiebung unterschiedlich energiereich. Mit β = v/c ist ihre Gesamtenergie E′ph = Eph/√(1 − β²). Daraus folgt, dass sich die kinetische Energie des bewegten Körpers bei unveränderter Geschwindigkeit v verringert. Für β ≪ 1 und Ekin = ½mv² ergibt sich aus dieser Änderung, dass die Abgabe der Strahlungsenergie Eph eine Massenabnahme Δm = Eph/c² verursacht. Einstein folgerte zunächst für Strahlung und später allgemein: ΔE₀ = Δmc²; durch Wahl des Energie-Nullpunkts erhält man E₀ = mc².

1907 übertrug Einstein seine Überlegungen auf die Gravitation. Das Äquivalenzprinzip, die Gleichheit von träger und schwerer Masse, bedeutet: Steigt die Ruheenergie eines Systems, steigt auch seine schwere Masse. In der allgemeinen Relativitätstheorie ist nicht nur Masse, sondern der Energie-Impuls-Tensor die Quelle des Gravitationsfeldes.

Theoretisch war die Beziehung nach Einstein in die spezielle Relativitätstheorie eingebettet. Experimentell wurde ΔE₀ = Δmc² ab 1920 am Massendefekt von Kernmassen untersucht, ab den 1930er Jahren quantitativ bei Kernreaktionen; anfangs lagen die Fehlergrenzen bei 20 %. 1932 zeigten John Cockcroft und Ernest Walton bei ⁷Li + p → 2α + 17 MeV direkt, dass der Energiegewinn von 17 MeV zur Abnahme der Gesamtmasse passt. Heute ist die Äquivalenz mit einer Genauigkeit der Größenordnung 10⁻⁶ verifiziert.

Historischer Zusammenhang mit der Atombombe

Schon vor Einstein hatten mehrere Forschende einen Zusammenhang zwischen elektromagnetischer Energie, Masse und Lichtgeschwindigkeit betrachtet. Henri Poincaré formulierte 1900 mem = Eem/c² für eine „fiktive“ elektromagnetische Masse. Albert Einstein erkannte 1905 die Allgemeingültigkeit: Jede Form von Energieumsatz verändert die Masse entsprechend Δm = ΔE/c².

Die hohen Energien radioaktiver Strahlung hatten Henri Becquerel, Marie und Pierre Curie sowie Ernest Rutherford bereits auf Kernreaktionen hingewiesen, die millionenfach energiereicher als chemische Reaktionen sind. E₀ = mc² erlaubt, die dafür verfügbare Energie an den unterschiedlichen Kernmassen abzulesen. Die Gleichung erklärt aber nicht, wie die Spaltung schwerer Kerne ausgelöst wird.

Für die Atombombe entscheidend waren die Beobachtung der induzierten Kernspaltung durch Otto Hahn und Fritz Straßmann sowie die Möglichkeit einer Kettenreaktion durch freigesetzte Neutronen in angereichertem Uran. Der Zusammenhang von Ruheenergie und Masse spielte bei der Entwicklung der Atombombe im Manhattan-Projekt ab 1942 keine besondere Rolle. Einstein wirkte vor allem politisch durch seinen Brief an Präsident Roosevelt, in dem er die Entwicklung einer Atombombe in den USA befürwortete.