Äquivalenzprinzip (Physik)

Grundidee und Formen

Das Äquivalenzprinzip besagt, dass schwere Masse und träge Masse eines Körpers gleichwertig sind. Es erklärt, warum alle Körper im freien Fall bei gleichen Anfangsbedingungen dieselbe Bahn durchlaufen. Galileo Galilei und Isaac Newton stellten diese Gleichheit der Fallbeschleunigung beziehungsweise die Proportionalität von Gravitationswirkungen zur Masse fest; Albert Einstein erkannte ab 1907 darin ein Grundprinzip für die allgemeine Relativitätstheorie (ART).

Man unterscheidet zwei Formen:

• Das schwache Äquivalenzprinzip: In einem gegebenen homogenen Gravitationsfeld hängt die Schwerkraft auf einen Körper allein von seiner Masse als Maß seiner Trägheit ab; chemische Zusammensetzung, Größe oder Form haben keinen Einfluss.
• Das starke Äquivalenzprinzip: Gravitations- und Trägheitskräfte sind auf kleinen Abstands- und Zeitskalen an ihren Wirkungen durch keine mechanische oder andere Beobachtung unterscheidbar.

Aus dem starken folgt das schwache Äquivalenzprinzip. Ob auch der umgekehrte Schluss gilt, ist je nach genauer Formulierung noch nicht abschließend geklärt. In der klassischen Mechanik folgt das schwache Prinzip aus dem Newtonschen Gravitationsgesetz. Ein mitfallendes Bezugssystem beschreibt deshalb den freien Fall als Schwerelosigkeit.

Träge und schwere Masse

Die träge Masse m_tr beschreibt, wie stark ein Körper einer Beschleunigung widersteht. Sie tritt im zweiten Newtonschen Axiom auf:

F⃗ = m_tr a⃗

Je größer die träge Masse, desto größer muss die Kraft für eine bestimmte Beschleunigung sein. Sie ist additiv: Die trägen Massen von Bestandteilen addieren sich, wenn ihre Bindungsenergien vernachlässigt werden können.

Die schwere Masse misst die gravitative Anziehung. Nach Newton zieht ein Körper der schweren Masse m_schwer einen Körper der schweren Masse M_schwer im Abstand r mit dem Betrag

F = G_Newton · (m_schwer M_schwer / r²)

an. Auch die schwere Masse ist unter Vernachlässigung der Bindungsenergien additiv. Beide Massenarten sind zunächst unabhängige Größen; Experimente zeigen jedoch, dass m_tr = m_schwer. Gerade dieses Ergebnis heißt schwaches Äquivalenzprinzip.

Im Erdschwerefeld gilt näherungsweise F = m_schwer g. Ohne Reibung und Auftrieb ergibt sich aus m_tr a = m_schwer g bei m_tr = m_schwer die Beschleunigung a = g. Daher fallen im Vakuum alle Körper unabhängig von ihrer Masse gleich schnell. In der klassischen Mechanik bleibt diese Gleichheit unerklärt, weil Trägheitsgesetz und Gravitationsgesetz auf unabhängigen Befunden und Axiomen beruhen.

Experimentelle Prüfung

Die Übereinstimmung beider Massenarten wird mit dem Eötvös-Verhältnis gemessen:

η ≡ 2|a₁ − a₂| / |a₁ + a₂|

Dabei sind a₁ und a₂ die Beschleunigungen zweier unterschiedlicher Testkörper. Je kleiner η ist, desto genauer stimmt das Äquivalenzprinzip mit den Messungen überein.

Newton beschrieb Pendelversuche 1687 in den Principia; Friedrich Wilhelm Bessel führte 1832 weitere Pendelversuche durch. Diese erreichten η < 10⁻³. Torsionspendelversuche von Loránd Eötvös verbesserten 1909 die Grenze auf η < 10⁻⁹; spätere Wiederholungen führten 1964 Roll, Krotkov und Dicke in Princeton sowie 1972 Braginsky und Panov in Moskau durch. Irwin Shapiro bestätigte das Prinzip 1976 mit Lunar Laser Ranging, also Laserreflektoren von Apollomissionen auf dem Mond, mit einer Genauigkeit von 10⁻¹². Eric G. Adelberger und weitere Mitglieder der Eötvös-Gruppe veröffentlichten 1999 eine Bestätigung mit 10⁻¹³.

Satellitenexperimente vergleichen die relativen Beschleunigungen frei fallender Testkörper verschiedener chemischer Zusammensetzung im Orbit. Der Kleinsatellit Microscope erreichte 2022 η < 2,7 · 10⁻¹⁵. Das Folgeexperiment STEP soll η < 10⁻¹⁸ erreichen und die Formulierung des Äquivalenzprinzips der ART direkter prüfen.

Bedeutung in der Relativitätstheorie

In einem geschlossenen Labor ohne Information von außen lassen sich aus Gegenstandsbewegungen allein eine Gravitationskraft und eine beschleunigte Bewegung des gesamten Labors nicht unterscheiden. Räumlich konstante Gravitationskräfte können daher durch den Wechsel in ein beschleunigtes Bezugssystem eliminiert werden.

Einsteins starkes Äquivalenzprinzip lautet: Ein Beobachter in einem geschlossenen Labor ohne Wechselwirkung mit der Umgebung kann durch kein Experiment unterscheiden, ob er schwerelos fernab von Massen ist oder nahe einer Masse frei fällt. Mathematisch entspricht ein homogenes Gravitationsfeld einer gleichmäßigen Beschleunigung in einer flachen Raumzeit. Für kleine raumzeitliche Abstände weicht die Metrik, also die geometrische Beschreibung der Raumzeit, im Koordinatensystem eines frei fallenden Beobachters nur wenig von einer flachen Metrik ab. Fermi’sche Normalkoordinaten zeigen, dass diese Abweichungen proportional zum Krümmungstensor sind. Kurz gelten im lokalen Inertialsystem die Gesetze der speziellen Relativitätstheorie (SRT).

Das Prinzip gilt nur lokal, denn ein exakt homogenes Gravitationsfeld gibt es nicht. Bei genügend großer vertikaler Ausdehnung werden tiefer gelegene Objekte stärker angezogen als höhere; bei großer horizontaler Ausdehnung zeigen die Anziehungsrichtungen zu unterschiedlichen Punkten des Gravitationszentrums. Diese Gezeitenkräfte ziehen einen ausgedehnten Körper in eine Richtung auseinander und drücken ihn senkrecht dazu zusammen. Nahe Schwarzen Löchern kann dies zur Spaghettisierung führen.

In der ART ist das starke Äquivalenzprinzip Ausgangspunkt der Theorie: Testteilchen mit gleichem Anfangsort und gleicher Anfangsgeschwindigkeit folgen unabhängig von Zusammensetzung oder sonstiger Beschaffenheit derselben Fallkurve. Dies folgt daraus, dass sich die Lagrangedichte der ART bei einem Koordinatenwechsel nicht ändert. Eine beobachtete Verletzung würde die Gültigkeit der ART begrenzen; bislang wurden keine Abweichungen gefunden. Zusätzlich gilt ein aktives Äquivalenzprinzip: Materie oder Strahlung erzeugt dieselbe Gravitation, wenn ihr Energie-Impuls-Tensor übereinstimmt. Für geladene Teilchen besteht wegen der großen Ausdehnung ihres elektrischen Feldes eine Kontroverse über die Geltung des Prinzips.