Jakob I Bernoulli

Bedeutung und Forschungsgebiete

Jakob Bernoulli, auch Jakob I Bernoulli genannt, war ein Schweizer Mathematiker und Physiker. Er lebte vom 27. Dezember 1654 (julianisch) beziehungsweise 6. Januar 1655 (gregorianisch) bis zum 16. August 1705 und wirkte vor allem in Basel. Die Bezeichnung „Jakob I“ unterscheidet ihn von seinem Grossneffen Jakob II Bernoulli (1759–1789).

Bernoulli trug wesentlich zur Entwicklung der Wahrscheinlichkeitstheorie, der Variationsrechnung und der Untersuchung von Potenzreihen bei. Gemeinsam mit seinem jüngeren Bruder Johann I Bernoulli bearbeitete und verbreitete er die von Gottfried Wilhelm Leibniz entwickelte Infinitesimalrechnung. Auch in der Mechanik erzielte er wichtige Ergebnisse, insbesondere zu Schwingungsmittelpunkten starrer Körper und zur Biegung elastischer Körper.

Leben und akademisches Wirken

Jakob Bernoulli war der älteste Bruder des Mathematikers Johann I Bernoulli und der Sohn des Kaufmanns Niklaus Bernoulli und Margaretha Schönauer. Auf Wunsch seines Vaters studierte er an der Universität Basel Philosophie und Theologie. 1671 erwarb er den Magister artium, 1676 das Lizenziat in Theologie. Gegen den Willen seines Vaters und weitgehend autodidaktisch vertiefte er sich zugleich in Mathematik und Astronomie.

Von 1676 bis 1680 arbeitete er als Hauslehrer in Genf und reiste mehrfach nach Frankreich. 1681 und 1682 unternahm er eine Bildungsreise durch Holland, Grossbritannien und Deutschland. Dabei lernte er unter anderem die Koordinatengeometrie von René Descartes sowie die Gelehrten Hudde, Robert Boyle und Robert Hooke kennen.

Nach seiner Rückkehr hielt Bernoulli ab 1683 private Vorlesungen über Experimentalphysik an der Universität Basel. Durch die Beschäftigung mit der Géométrie von Descartes und den Arbeiten von John Wallis und Isaac Barrow wandte er sich zunehmend der Infinitesimalrechnung zu. 1684 heiratete er Judith Stupanus; das Paar hatte zwei Kinder. 1687 wurde Bernoulli Professor für Mathematik an der Universität Basel.

1697 zerstritt er sich nach langjährigen Rivalitäten mit seinem Bruder Johann. 1699 wurde er Mitglied der Akademie der Wissenschaften von Paris, 1702 auch der Akademie von Berlin. Er korrespondierte unter anderem mit Leibniz und Nicolas Fatio de Duillier. Nach seinem Tod in Basel im Alter von 50 Jahren übernahm sein Bruder Johann seine Professur.

Beiträge zur Mathematik

Ab 1686 verwendete Bernoulli die vollständige Induktion. Dabei untersuchte er wichtige Potenzreihen mithilfe der Bernoulli-Zahlen und leistete Beiträge zur Begründung der Wahrscheinlichkeitstheorie. 1687 begann er gemeinsam mit Johann I Bernoulli, den neuen Calculus, also die Infinitesimalrechnung von Leibniz, weiterzuentwickeln und praktisch anzuwenden. Die Brüder gehörten zu den ersten, die diesen Calculus nutzten, ohne zum unmittelbaren Umfeld von Leibniz zu gehören.

Bis 1689 veröffentlichte Bernoulli bedeutende Arbeiten über Potenzreihen und Wahrscheinlichkeitsrechnung. Dazu gehörte ein Beweis von Bernoullis Gesetz der grossen Zahlen. Dieses behandelt zwar nur den Fall der Binomialverteilung, gilt aber als erstes schwaches Gesetz der grossen Zahlen. Ein solches Gesetz beschreibt, dass sich bei vielen Wiederholungen eines Zufallsexperiments die beobachteten Häufigkeiten unter bestimmten Bedingungen stabilisieren.

In den frühen 1690er Jahren arbeitete Bernoulli vor allem an der Variationsrechnung. Dabei untersuchte er wichtige Kurven und Differentialgleichungen.

Beiträge zur Mechanik

In der Mechanik untersuchte Bernoulli die Schwingungsmittelpunkte starrer Körper. Für ausgedehnte starre Massenelemente mit dem Abstand xᵢ von der Drehachse entwickelte er die verallgemeinerte Lösungsformel

l_C = (∑ᵢ ∫ xᵢ² dmᵢ) / (∑ᵢ ∫ xᵢ dmᵢ).

Diese Formel gilt für die genannten Massenelemente und führte dazu, dass der Zähler als eigene physikalische Grösse aufgefasst wurde: das Massenträgheitsmoment bei Drehbewegungen. Bernoulli konnte die Formel erstmals aus dem Hebelprinzip beweisen, wenn die Massen ein virtuelles Drehmoment erzeugen. Das war damals eine offene Forschungsfrage.

Auch bei der Mechanik elastischer Körper galt Bernoulli als Pionier. Er formulierte die Problemstellung der Balkenbiegung, analysierte die dabei wirkenden Biegemomente und verwendete vereinfachende physikalische Hypothesen, die heute als Bernoullische Annahmen bekannt sind.

Für den Fall, dass das einwirkende Biegemoment an jeder Stelle proportional zur Krümmung ist, fand er erstmals die spezielle Lösung der Biegelinie in differentieller Form:

\frac{dw}{dx}=\frac{x^{2}}{\sqrt{a^{4}-x^{4}}}.

Die anschliessende Integration führte zur Entdeckung der Lemniskate für Elastika.

Wichtige Werke und spätere Ehrungen

Zwischen 1689 und 1704 verfasste Bernoulli fünf Abhandlungen über die Reihenlehre, gab René Descartes’ Geometria neu heraus und schrieb mathematische Beiträge für die Acta Eruditorum.

Sein wichtigstes Werk ist die Ars Conjectandi. Es wurde 1713, acht Jahre nach seinem Tod, in Basel veröffentlicht. Das Buch fasst Arbeiten anderer Autoren zur Wahrscheinlichkeitsrechnung zusammen und entwickelt sie weiter. Es behandelt unter anderem Strategien für verschiedene Glücksspiele und enthält die Bernoulli-Zahlen. Weitere genannte Schriften sind Conamen novi systematis cometarum (Amsterdam 1682) und De gravitate aetheris (Amsterdam 1683). Eine fünfbändige Ausgabe seiner Werke erschien 1969–1999 bei Birkhäuser.

Bernoulli beschäftigte sich ausserdem ausführlich mit der logarithmischen Spirale. Der Überlieferung nach sollte sie auf seinem Grabstein dargestellt werden; auf dem Epitaph im Kreuzgang des Basler Münsters befindet sich jedoch eine archimedische Spirale.

1875 wurde beim Eingang des Bernoullianums in Basel eine Marmorbüste zu seinen Ehren aufgestellt. 1985 wurde der Mondkrater Bernoulli nach Jakob Bernoulli und seinem Bruder Johann benannt.