Lipschitz-stetige Funktion

Kernidee und Definition

Lipschitzstetigkeit ist eine Eigenschaft von Funktionen und eine Verschärfung der Stetigkeit. Eine lipschitzstetige Funktion kann sich nur beschränkt schnell ändern: Bei reellwertigen Funktionen ist der Betrag der Steigung jeder Sekante durch eine feste Zahl begrenzt.

Eine Funktion f: ℝ → ℝ heißt lipschitzstetig, wenn eine Konstante L ∈ ℝ≥0 existiert, sodass für alle x₁, x₂ ∈ ℝ gilt:

|f(x₁) − f(x₂)| ≤ L · |x₁ − x₂|.

Allgemeiner seien (X, d_X) und (Y, d_Y) metrische Räume, also Mengen mit Abstandsfunktionen. Eine Funktion f: X → Y heißt lipschitzstetig, wenn es eine reelle Zahl L gibt, sodass für alle x₁, x₂ ∈ X gilt:

d_Y(f(x₁), f(x₂)) ≤ L · d_X(x₁, x₂).

Die Zahl L heißt Lipschitzkonstante; stets gilt L ≥ 0. Erfüllt eine Funktion diese Ungleichung, so erfüllt sie die Lipschitzbedingung.

Eine Abschwächung ist die lokale Lipschitzstetigkeit. Dabei muss es um jeden Punkt von X eine Umgebung geben, auf der die eingeschränkte Funktion lipschitzstetig ist. Ist eine Funktion nur auf einer Teilmenge A ⊂ X definiert, betrachtet man A mit der von X übernommenen Metrik d_X|_A.

Zusammenhang mit Stetigkeit und Differenzierbarkeit

Jede lipschitzstetige Funktion ist lokal lipschitzstetig, weil man ganz X als Umgebung und überall dieselbe Lipschitzkonstante L wählen kann. Jede lokal lipschitzstetige Funktion ist stetig; in der ε-δ-Definition kann man δ = ε/L wählen. Lipschitzstetige Funktionen sind sogar gleichmäßig stetig. Lipschitzstetigkeit ist damit stärker als gleichmäßige Stetigkeit, aber die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht.

Nach dem Satz von Rademacher ist jede lipschitzstetige Funktion fast überall differenzierbar. „Fast überall“ bedeutet dabei, dass mögliche Ausnahmestellen eine vernachlässigbare Menge bilden. Eine lipschitzstetige Funktion muss jedoch nicht an jeder Stelle differenzierbar sein.

Umgekehrt muss eine differenzierbare Funktion nicht lipschitzstetig sein. Beispielsweise ist f: ℝ → ℝ, x ↦ x² differenzierbar, aber auf ganz ℝ nicht lipschitzstetig. Für eine differenzierbare Funktion f: (a,b) → ℝ mit a,b ∈ ℝ ∪ {±∞} gilt eine genaue Charakterisierung: Sie ist genau dann lipschitzstetig, wenn ihre erste Ableitung beschränkt ist.

Typische Beispiele und Gegenbeispiele

Für x₁ ≠ x₂ ist bei einer lipschitzstetigen Funktion der Quotient

d_Y(f(x₁),f(x₂)) / d_X(x₁,x₂)

durch jede Lipschitzkonstante nach oben beschränkt. Bei lokal lipschitzstetigen Funktionen gilt eine solche Beschränkung auf hinreichend kleinen Umgebungen.

Die Funktion f: [0,1] → ℝ, x ↦ √x, ist stetig und sogar gleichmäßig stetig, aber nicht lokal lipschitzstetig. Denn für x₁ > 0 gilt

|f(x₁) − f(0)| / |x₁ − 0| = 1/√x₁ → ∞ für x₁ ↘ 0.

Es kann daher keine Lipschitzkonstante in einer Umgebung von 0 geben. Die Funktion ist allerdings hölderstetig mit Exponenten 1/2.

Für g: [a,b] → ℝ mit g(x) = x² ist

L := max_{x₁,x₂∈[a,b]} |x₁+x₂| = 2 max(|a|,|b|)

eine Lipschitzkonstante, denn

|g(x₁)−g(x₂)| = |x₁²−x₂²| = |x₁+x₂|·|x₁−x₂| ≤ L·|x₁−x₂|.

Da der zugehörige Quotient |x₁+x₂| beträgt, ist x² auf einem beschränkten Intervall lipschitzstetig, auf dem unbeschränkten Definitionsbereich ℝ dagegen nicht.

Die Betragsfunktion h: ℝ → ℝ, h(x)=|x|, ist wegen der umgekehrten Dreiecksungleichung

||x₁|−|x₂|| ≤ |x₁−x₂|

lipschitzstetig mit L=1. Trotzdem ist sie bei x=0 nicht differenzierbar. Das zeigt, dass Lipschitzstetigkeit keine Differenzierbarkeit an jeder Stelle garantiert.

Allgemein ist jede Funktion f: [a,b] → ℝ, die auf [a,b] stetig, auf (a,b) differenzierbar und dort von beschränkter Ableitung ist, lipschitzstetig mit

L := sup_{x∈(a,b)} |f′(x)|.

Nach dem Mittelwertsatz gibt es nämlich ein x₀ ∈ (a,b), sodass

|f(x₁)−f(x₂)| = |f′(x₀)(x₁−x₂)| ≤ L|x₁−x₂|.

Anwendungen

Lipschitzstetigkeit spielt in der Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen eine wichtige Rolle, weil sie beim Beweis der Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen verwendet wird, insbesondere im Satz von Picard-Lindelöf.

Eine Selbstabbildung, also eine Funktion von einer Menge in dieselbe Menge, mit einer Lipschitzkonstante kleiner als eins heißt Kontraktion. Kontraktionen sind für den Fixpunktsatz von Banach wichtig.

In der Theorie partieller Differentialgleichungen betrachtet man Lipschitz-Gebiete. Ihr Rand, der Lipschitz-Rand, kann lokal durch eine lipschitzstetige Funktion beschrieben werden.

Auch die Störanfälligkeit neuronaler Netze, etwa im Zusammenhang mit Adversarial Examples, kann durch die Größe der Lipschitzkonstante plausibilisiert werden.

Der Funktionenraum Lip(X)

Für eine Teilmenge X ⊆ ℝ oder allgemeiner einen metrischen Raum (X,d_X) wird die Menge der reellwertigen lipschitzstetigen Funktionen auf X gelegentlich mit Lip(X) bezeichnet.

Für X ⊆ ℝ beziehungsweise X ⊆ ℝⁿ mit euklidischer Metrik ist jede affin-lineare Funktion lipschitzstetig. Auf einem beliebigen metrischen Raum sind zumindest alle konstanten Funktionen lipschitzstetig. Daher ist Lip(X) nie leer und enthält insbesondere die konstante Nullfunktion.

Für f,g ∈ Lip(X) und λ ∈ ℝ gelten λf ∈ Lip(X) und f+g ∈ Lip(X). Somit ist Lip(X) ein reeller Vektorraum und damit ein Funktionenraum. Ist X zusätzlich beschränkt, ist auch das punktweise Produkt f·g lipschitzstetig. Unter dieser Voraussetzung bildet Lip(X) daher eine Funktionenalgebra.