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Gleichmäßige Stetigkeit
Gleichmäßige Stetigkeit einer Funktion ist eine stärkere Bedingung als die der Stetigkeit einer Funktion. Bei einer gleichmäßig stetigen Funktion ist der …
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Kernidee und Definition
Gleichmäßige Stetigkeit ist ein Begriff der Analysis und eine stärkere Bedingung als gewöhnliche Stetigkeit. Eine Funktion ist gleichmäßig stetig, wenn nahe beieinanderliegende Argumente stets nahe beieinanderliegende Funktionswerte haben – und zwar mit einer Abstandsschranke, die überall im Definitionsbereich gleichermaßen gilt.
Sei D\subseteq \mathbb{R}. Eine Abbildung f\colon D\to\mathbb{R} heißt genau dann gleichmäßig stetig, wenn
\forall \varepsilon>0\;\exists \delta>0\;\forall x,x_0\in D:\ |x-x_0|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon.
Dabei ist \varepsilon der beliebig vorgegebene maximale Abstand der Funktionswerte. Dazu muss ein \delta>0 gefunden werden, sodass alle Argumentpaare mit einem Abstand kleiner als \delta Funktionswerte mit einem Abstand kleiner als \varepsilon besitzen.
Der entscheidende Unterschied zur punktweisen Stetigkeit, also zur Stetigkeit in jedem einzelnen Punkt des Definitionsbereichs, besteht in der Abhängigkeit von \delta: Bei gleichmäßiger Stetigkeit hängt \delta nur von \varepsilon ab. Bei punktweiser Stetigkeit darf \delta zusätzlich von der betrachteten Stelle x_0 abhängen.
Anschauliche Bedeutung
Für jedes \varepsilon>0 lässt sich bei einer gleichmäßig stetigen Funktion ein einziges \delta>0 wählen, das für den gesamten Definitionsbereich funktioniert. Um jeden Punkt (x,f(x)) des Graphen kann man sich ein Rechteck mit Höhe 2\varepsilon und Breite 2\delta vorstellen. Wird dieses Rechteck am Graphen entlanggeführt, liegen keine Funktionswerte direkt oberhalb oder unterhalb des Rechtecks; der Graph schneidet nur dessen senkrechte Seiten.
Bei einer nicht gleichmäßig stetigen Funktion gibt es dagegen mindestens ein \varepsilon>0, für das kein überall gültiges \delta>0 gefunden werden kann. Ein entsprechendes 2\varepsilon-2\delta-Rechteck kann an manchen Stellen passen, an anderen Stellen liegen Teile des Graphen jedoch direkt darüber oder darunter. Entscheidend ist daher nicht nur das Verhalten an einem einzelnen Punkt, sondern eine gemeinsame Abstandsschranke für den gesamten Definitionsbereich.
Typische Beispiele
Die Quadratfunktion
f\colon\mathbb{R}^{+}\to\mathbb{R}^{+},\quad f(x)=x^2
ist stetig, aber auf ganz \mathbb{R}^{+} nicht gleichmäßig stetig. Wählt man zwei Argumente mit einem festen kleinen Abstand, kann der Abstand ihrer Funktionswerte immer größer werden, je weiter rechts die Punkte liegen. Deshalb existiert kein nur von \varepsilon abhängiges \delta, das im gesamten Definitionsbereich funktioniert. Jede Einschränkung der Quadratfunktion auf ein kompaktes Intervall ist dagegen gleichmäßig stetig; dies folgt aus dem Satz von Heine.
Die Wurzelfunktion
f\colon\mathbb{R}^{+}\to\mathbb{R}^{+},\quad f(x)=\sqrt{x}
ist auf ihrem gesamten Definitionsbereich gleichmäßig stetig. Sie ist sogar hölderstetig, aber nicht lipschitzstetig. Hölder- und Lipschitz-Stetigkeit sind spezielle, stärkere Formen der gleichmäßigen Stetigkeit.
Auch f(x)=1/x verdeutlicht das Problem fehlender Gleichmäßigkeit: In der Nähe von null ändert sich die Funktion so stark, dass kein einheitliches \delta für den gesamten Definitionsbereich gewählt werden kann.
Wichtige Eigenschaften
Jede gleichmäßig stetige Funktion ist stetig. Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht, wie die Quadratfunktion auf \mathbb{R}^{+} zeigt. Auf kompakten Mengen fallen beide Begriffe jedoch zusammen: Nach dem Satz von Heine ist jede stetige Funktion auf einer kompakten Menge gleichmäßig stetig.
Eine Cauchy-Folge ist eine Folge, deren Glieder ab einem genügend großen Index beliebig nahe beieinanderliegen. Ist (x_n)_{n\in\mathbb{N}} eine Cauchy-Folge in X und f\colon X\to Y gleichmäßig stetig, dann ist auch (f(x_n))_{n\in\mathbb{N}} eine Cauchy-Folge in Y. Bei lediglich stetigen Funktionen muss dies nicht gelten. Ein Gegenbeispiel ist X=(0,1], f(x)=1/x und x_n=1/n.
Daraus ergibt sich eine wichtige Fortsetzungseigenschaft: Ist f\colon X\to Y auf einer Menge M\subset X gleichmäßig stetig und ist Y vollständig, also konvergiert dort jede Cauchy-Folge, dann lässt sich f auf den Abschluss \overline{M} fortsetzen. Diese Fortsetzung ist sogar wieder gleichmäßig stetig.
Für reellwertige Funktionen auf Teilmengen von \mathbb{R}^n bedeutet dies anschaulich, dass eine gleichmäßig stetige Funktion keine Polstellen besitzen kann. An einer Polstelle wäre keine stetige Fortsetzung auf den Abschluss des Definitionsbereichs möglich.
Verallgemeinerungen
Die Definition lässt sich von reellen Zahlen auf metrische Räume übertragen. Ein metrischer Raum ist eine Menge mit einer Abstandsfunktion. Seien (X,d_X) und (Y,d_Y) metrische Räume. Eine Abbildung f\colon X\to Y heißt genau dann gleichmäßig stetig, wenn
\forall \varepsilon>0\;\exists \delta>0\;\forall x,x_0\in X:\ d_X(x,x_0)<\delta\Rightarrow d_Y(f(x),f(x_0))<\varepsilon.
Auch hier muss dasselbe \delta, das nur von \varepsilon abhängt, für alle Punkte des Raumes X gelten.
Noch allgemeiner betrachtet die Topologie uniforme Räume (X,\mathcal{U}_X) und (Y,\mathcal{U}_Y). Eine Funktion f\colon X\to Y heißt dort gleichmäßig stetig, wenn das Urbild jeder Nachbarschaft wieder eine Nachbarschaft ist, also
(f\times f)^{-1}(\mathcal{U}_Y)\subset\mathcal{U}_X.
Diese Formulierung ersetzt konkrete Abstände durch die uniforme Struktur, welche die Vorstellung von gleichmäßiger Nähe in einem Raum beschreibt.
