Kontraktion (Mathematik)

Grundidee und Definition

Eine Kontraktion ist in der Analysis und verwandten mathematischen Gebieten eine Abbildung einer Menge M in sich selbst, die die Abstände zwischen beliebigen Punkten mindestens so stark verringert wie eine zentrische Streckung mit einem festen Streckungsfaktor λ < 1. Bei wiederholter Anwendung wird die Menge dadurch immer weiter „zusammengezogen“. Sätze über den entstehenden Grenzpunkt, seine Berechnung oder den Näherungsfehler nach endlich vielen Wiederholungen heißen Kontraktionssätze oder Fixpunktsätze.

Formal sei (M,d) ein metrischer Raum, also eine Menge M mit einer Abstandsfunktion d. Eine Abbildung φ: M → M heißt Kontraktion, wenn es eine Zahl λ ∈ [0,1) gibt, sodass für alle x,y ∈ M gilt:

d(φ(x), φ(y)) ≤ λ · d(x,y).

Die Abbildung bildet also zunächst M in sich selbst ab und erfüllt außerdem eine Lipschitz-Bedingung mit einer Lipschitz-Konstanten λ < 1. Die Zahl λ gibt an, wie stark Abstände höchstens verkleinert werden: Je kleiner λ ist, desto stärker ist die Kontraktion.

Reeller Kontraktionssatz

Eine kontrahierende Selbstabbildung f eines Intervalls I = [a,b] besitzt genau einen Fixpunkt ξ. Ein Fixpunkt ist ein Punkt, der durch die Abbildung unverändert bleibt, also f(ξ) = ξ.

Der Fixpunkt kann mit der Iterationsfolge berechnet werden. Dazu wählt man einen beliebigen Startwert x₀ ∈ I und definiert nacheinander

xₙ₊₁ := f(xₙ).

Die Folge nähert sich dem Fixpunkt ξ an. Für jedes Folgenglied gilt die Fehlerabschätzung

|xₙ − ξ| ≤ λⁿ/(1 − λ) · |x₁ − x₀|.

Damit lässt sich der Fehler nach n Iterationen abschätzen. Die Konvergenz wird durch die Potenz λⁿ beschrieben; weil λ < 1 gilt, wird dieser Faktor bei wachsendem n kleiner. Eine Verallgemeinerung des reellen Kontraktionssatzes ist der Fixpunktsatz von Banach.

Typische Anwendungen und Beispiele

Ist X ⊆ ℝ und f eine reellwertige Funktion auf X, die auf X eine Lipschitz-Bedingung mit λ < 1 erfüllt, kann man unter einer zusätzlichen Bedingung ein Intervall finden, auf dem f kontrahierend ist. Für einen Startpunkt x₀ ∈ X genügt ein Intervall I = [x₀ − r, x₀ + r] ⊆ X, auf dem

|f(x₀) − x₀| < |(1 − λ)r|

gilt. Dann ist f eine kontrahierende Selbstabbildung von I. Ein Fixpunkt in I kann durch die Iterationsfolge des reellen Kontraktionssatzes berechnet werden.

Eine wichtige Anwendung ist das Heronverfahren zur Bestimmung der Quadratwurzel einer reellen Zahl a > 0. Statt die Gleichung x² = a direkt zu lösen, betrachtet man die Fixpunktgleichung

x = x/2 + a/(2x)

und damit die Funktion f(x) = x/2 + a/(2x). Diese Funktion ist beispielsweise auf dem Intervall I = [√(a/2), ∞) kontrahierend; als Kontraktionskonstante kann λ = 1/2 gewählt werden. Da f(x) ≥ √a ⇒ f(x) ∈ [√(a/2), ∞) für alle x > 0 gilt, gelangt jeder positive Startwert nach einmaliger Anwendung in das Intervall, auf dem die Funktion kontrahiert. Der reelle Kontraktionssatz kann daher angewendet werden. Durch wiederholte Anwendung von f wird der Fixpunkt √a von jedem beliebigen positiven Startwert aus approximiert. In der Praxis ist häufig der Startwert x₀ = max{n ∈ ℕ | n² < a} sinnvoll.