Limes superior und Limes inferior

Grundidee und Schreibweise

Limes superior (oberer Limes) und Limes inferior (unterer Limes) beschreiben das langfristige Verhalten einer Folge, auch wenn sie keinen gewöhnlichen Grenzwert besitzt. Bei einer reellen Folge ist der Limes superior ihr größter Häufungspunkt, der Limes inferior ihr kleinster Häufungspunkt. Ein Häufungspunkt ist dabei ein Wert, gegen den eine Teilfolge konvergiert. Beide Begriffe dienen daher als partieller Ersatz für einen nicht vorhandenen Grenzwert.

Man schreibt

liminfₙ→∞ xₙ beziehungsweise limsupₙ→∞ xₙ.

Ebenfalls üblich sind die Schreibweisen varliminfₙ→∞ und varlimsupₙ→∞. Die Werte werden in den erweiterten reellen Zahlen ℝ ∪ {−∞,+∞} betrachtet, sodass sie für jede reelle Folge existieren.

Definition für reelle Folgen

Sei (xₙ)ₙ∈ℕ eine Folge reeller Zahlen. Für jeden Index n betrachtet man den Folgenschwanz {xₖ : k ≥ n}, also alle Glieder ab xₙ. Das Infimum ist die größte untere Schranke, das Supremum die kleinste obere Schranke einer Menge.

Der Limes inferior ist definiert durch

liminfₙ→∞ xₙ := supₙ∈ℕ infₖ≥ₙ xₖ = sup{inf{xₖ : k ≥ n} : n ∈ ℕ}.

Der Limes superior ist entsprechend

limsupₙ→∞ xₙ := infₙ∈ℕ supₖ≥ₙ xₖ = inf{sup{xₖ : k ≥ n} : n ∈ ℕ}.

Äquivalent kann man zunächst für jeden Folgenschwanz dessen Supremum und Infimum bilden und anschließend die Grenzwerte dieser neuen Folgen bestimmen:

limsupₙ→∞ xₙ := limₙ→∞(sup{xₖ : k ≥ n}), liminfₙ→∞ xₙ := limₙ→∞(inf{xₖ : k ≥ n}).

Wenn n wächst, kann das Supremum eines Folgenschwanzes nur kleiner werden oder gleich bleiben; das Infimum kann nur größer werden oder gleich bleiben. Die so entstehenden monotonen Folgen besitzen in den erweiterten reellen Zahlen einen Grenzwert.

Zentrale Eigenschaften und Beispiele

Für jede reelle Folge gilt

liminfₙ→∞ xₙ ≤ limsupₙ→∞ xₙ.

Bei einer beschränkten Folge sind beide Werte reell. Umgekehrt sind Limes inferior und Limes superior genau dann beide reelle Zahlen, wenn die Folge beschränkt ist. Aus ihrer Existenz erhält man in diesem Fall den Satz von Bolzano-Weierstraß.

Für jedes ε > 0 liegen unendlich viele Folgenglieder im offenen Intervall um den Limes superior

(limsupₙ→∞ xₙ − ε, limsupₙ→∞ xₙ + ε)

und unendlich viele im entsprechenden Intervall um den Limes inferior

(liminfₙ→∞ xₙ − ε, liminfₙ→∞ xₙ + ε).

Zugleich erfüllen fast alle, also alle bis auf endlich viele, Folgenglieder

liminfₙ→∞ xₙ − ε < xₙ < limsupₙ→∞ xₙ + ε.

Damit ist der Limes inferior der kleinste und der Limes superior der größte Häufungspunkt. Da Häufungspunkte genau die Grenzwerte konvergenter Teilfolgen sind, ist der Limes inferior die kleinste erweiterte reelle Zahl, gegen die eine Teilfolge konvergiert, und der Limes superior die größte.

Limes inferior und Limes superior sind genau dann gleich, wenn die Folge in den erweiterten reellen Zahlen konvergiert. Dann gilt

limₙ→∞ xₙ = liminfₙ→∞ xₙ = limsupₙ→∞ xₙ.

Beispiele:

• Für xₙ := 1 + 1/n gilt limsupₙ→∞ xₙ = liminfₙ→∞ xₙ = 1. Die Folge konvergiert also gegen 1.

• Für xₙ := (−1)ⁿ(1 + 1/n) gilt limsupₙ→∞ xₙ = +1 und liminfₙ→∞ xₙ = −1. Wegen der unterschiedlichen Werte besitzt die Folge keinen gewöhnlichen Grenzwert.

Allgemeine Folgen, Funktionenfolgen und Mengenfolgen

Die Definition lässt sich auf eine Folge f: ℕ → M in einer partiell geordneten Menge M übertragen, wenn die benötigten Suprema und Infima in M existieren. Das ist insbesondere der Fall, wenn M ein vollständiger Verband ist. Ein vollständiger Verband ist eine geordnete Menge, in der jede Teilmenge ein Supremum und ein Infimum besitzt. Dann hat jede Folge in M einen Limes inferior und einen Limes superior.

Für eine Folge reeller Funktionen (fₙ)ₙ∈ℕ mit fₙ: ℝ → ℝ werden beide Größen punktweise definiert:

(liminfₙ→∞ fₙ)(x) = liminfₙ→∞ fₙ(x), (limsupₙ→∞ fₙ)(x) = limsupₙ→∞ fₙ(x).

Man betrachtet also für jedes feste x die Zahlenfolge (fₙ(x)). Eine bekannte Aussage, die den Limes inferior einer Funktionenfolge verwendet, ist das Lemma von Fatou.

Für eine Menge Ω ist ihre Potenzmenge P(Ω), geordnet durch die Teilmengenrelation, ein vollständiger Verband. Für eine Mengenfolge (Aₙ)ₙ∈ℕ mit Aₙ ⊆ Ω entsprechen Supremum und Infimum der Vereinigung beziehungsweise dem Durchschnitt:

supₙ∈ℕ Aₙ = ⋃ₙ∈ℕ Aₙ, infₙ∈ℕ Aₙ = ⋂ₙ∈ℕ Aₙ.

Daraus folgen

liminfₙ→∞ Aₙ = ⋃ₙ₌₁∞ (⋂ₘ₌ₙ∞ Aₘ), limsupₙ→∞ Aₙ = ⋂ₙ₌₁∞ (⋃ₘ₌ₙ∞ Aₘ).

Der Limes inferior enthält genau die Elemente von Ω, die in fast allen Aₙ liegen. Der Limes superior enthält genau die Elemente, die in unendlich vielen Aₙ liegen. Der Limes superior von Mengen wird beispielsweise im Borel-Cantelli-Lemma verwendet.

Eine Mengenfolge konvergiert gegen A, wenn ihr Limes inferior und ihr Limes superior gleich sind. Eine Folge von Teilmengen einer Menge X konvergiert genau dann, wenn für jedes x ∈ X ab einem bestimmten Index dauerhaft feststeht, ob x zu den Mengen gehört: Zu jedem x ∈ X gibt es ein N ∈ ℕ, sodass entweder x ∈ Aₙ für alle n ≥ N oder x ∉ Aₙ für alle n ≥ N gilt.

Limes superior und inferior von Funktionen

Seien I ⊆ ℝ ein Intervall, ξ ein innerer Punkt von I und f: I → ℝ. Für hinreichend kleines a > 0 betrachtet man die Funktionswerte in der punktierten Umgebung (ξ−a, ξ+a) ∖ {ξ}. Dann sind

limsupₓ→ξ f(x) = infₐ>0 sup f((ξ−a, ξ+a) ∖ {ξ}), liminfₓ→ξ f(x) = supₐ>0 inf f((ξ−a, ξ+a) ∖ {ξ}).

Dabei bezeichnet f((ξ−a, ξ+a)) die Bildmenge des Intervalls; a muss so klein sein, dass (ξ−a, ξ+a) ⊆ I gilt. Entsprechend definiert man einseitige Größen:

limsupₓ→ξ+ f(x) = infₐ>0 sup f((ξ,ξ+a)), liminfₓ→ξ+ f(x) = supₐ>0 inf f((ξ,ξ+a)), limsupₓ→ξ− f(x) = infₐ>0 sup f((ξ−a,ξ)), liminfₓ→ξ− f(x) = supₐ>0 inf f((ξ−a,ξ)).

Diese Begriffe werden beispielsweise zur Definition der Halbstetigkeit verwendet.

Noch allgemeiner seien T ein topologischer Raum, M eine partiell geordnete Menge, in der jede nichtleere Teilmenge ein Infimum und ein Supremum besitzt, f: V → M mit V ⊆ T und a ein Häufungspunkt von V. Bezeichnet 𝔘(a) die Menge der Umgebungen von a in V, so setzt man

limsupₓ→a f(x) := infᵁ∈𝔘(a) supₓ∈U∖{a} f(x), liminfₓ→a f(x) := supᵁ∈𝔘(a) infₓ∈U∖{a} f(x).

Anstelle aller Umgebungen darf eine beliebige Umgebungsbasis von a verwendet werden. Stets gilt liminfₓ→a f(x) ≤ limsupₓ→a f(x). Sind beide gleich, so existiert der Grenzwert und

limₓ→a f(x) = liminfₓ→a f(x) = limsupₓ→a f(x).

Die Definitionen für reelle Folgen und Mengenfolgen entstehen als Spezialfälle, wenn T = ℕ ∪ {∞}, V = ℕ und a = ∞ gewählt werden; für M verwendet man ℝ ∪ {−∞,∞} beziehungsweise die Potenzmenge Pot(Ω).