Lemma von Fatou

Kernaussage

Das Lemma von Fatou ist ein Satz der Maß- und Integrationstheorie. Es beschreibt, wie sich Grenzwertbildung und Lebesgue-Integration bei Folgen messbarer Funktionen zueinander verhalten. Die zentrale Aussage ist: Das Integral des punktweisen Limes inferior einer Funktionenfolge ist höchstens so groß wie der Limes inferior der Integrale dieser Funktionen.

Der Satz ist wichtig, weil man Grenzwerte von Funktionenfolgen oft nicht einfach mit Integralen vertauschen darf. Das Lemma von Fatou liefert dafür eine sichere Abschätzung. Es gilt insbesondere für nichtnegative, messbare Funktionen auf einem Maßraum.

Formulierung

Sei (S, Σ, μ) ein Maßraum. Für jede Folge (f_n)_{n∈N} nichtnegativer, messbarer Funktionen f_n: S → R ∪ {∞} gilt:

∫S liminf{n→∞} f_n dμ ≤ liminf_{n→∞} ∫_S f_n dμ.

Dabei ist der Limes inferior auf der linken Seite punktweise gemeint: Für jeden Punkt x ∈ S betrachtet man zuerst die Zahlenfolge f_n(x) und bildet davon den Limes inferior.

Für den Limes superior gilt eine entsprechende Aussage unter einer zusätzlichen Voraussetzung: Es muss eine nichtnegative, integrierbare Funktion g geben, sodass f_n ≤ g für alle n gilt. Dann gilt:

∫S limsup{n→∞} f_n dμ ≥ limsup_{n→∞} ∫_S f_n dμ.

Zusammengefasst erhält man die Merkregel:

∫S liminf{n→∞} f_n dμ ≤ liminf_{n→∞} ∫S f_n dμ ≤ limsup{n→∞} ∫_S f_n dμ ≤ ∫S limsup{n→∞} f_n dμ ≤ ∫_S g dμ.

Beweisidee

Für den Fall des Limes inferior nutzt man den Satz von der monotonen Konvergenz. Dazu definiert man eine neue Funktionenfolge

g_n := inf_{k≥n} f_k.

Diese Folge wächst monoton und konvergiert punktweise gegen den Limes inferior der ursprünglichen Folge:

g_n ↗ liminf_{n→∞} f_n.

Nach dem Satz von der monotonen Konvergenz darf man bei dieser monoton wachsenden Folge Grenzwert und Integral passend verknüpfen:

∫S liminf{n→∞} f_n = lim_{n→∞} ∫S inf{k≥n} f_k.

Außerdem gilt wegen der Monotonie des Integrals:

∫S inf{k≥n} f_k ≤ ∫_S f_n.

Daraus folgt mit den Rechenregeln für den Limes inferior die Ungleichung des Lemmas von Fatou.

Für den Limes superior kann man ähnlich argumentieren, wenn eine integrierbare Majorante g existiert. Eine Majorante ist eine Funktion, die alle f_n nach oben abschätzt. Dann ist insbesondere sup_{k≥1} f_k ≤ g integrierbar, was die nötige Kontrolle über die Funktionenfolge liefert.

Strikte Ungleichung

Das Lemma von Fatou liefert im Allgemeinen nur eine Ungleichung, keine Gleichheit. Die Ungleichung kann also strikt sein.

Im Artikel werden Beispiele auf Grundräumen mit borelscher σ-Algebra und Lebesgue-Maß angegeben. Ein Beispiel ist der Wahrscheinlichkeitsraum S = [0,1] mit

f_n(x) = n · 1_{(0,1/n)}(x).

Ein weiteres Beispiel mit gleichmäßiger Konvergenz verwendet S = R und

f_n(x) = (1/n) · 1_{[0,n]}(x).

In beiden Fällen hat jedes f_n das Integral 1:

∫_S f_n dμ = 1.

Daher gilt auch

lim_{n→∞} ∫S f_n dμ = liminf{n→∞} ∫S f_n dμ = limsup{n→∞} ∫_S f_n dμ = 1.

Die Funktionenfolge konvergiert aber punktweise gegen die Nullfunktion. Also sind auch Limes inferior und Limes superior der Funktionen gleich 0, und deren Integrale sind 0. Damit ergibt sich für den Limes inferior eine echte Ungleichung:

∫S liminf{n→∞} f_n dμ < liminf_{n→∞} ∫_S f_n dμ.

Entsprechend gilt auch eine strikte Ungleichung beim Limes superior. Beim zweiten Beispiel wird ausdrücklich angemerkt, dass es keine integrierbare Majorante gibt; deshalb ist der sup-Teil des Lemmas von Fatou dort nicht anwendbar.

Voraussetzungen

Die Nichtnegativität der Funktionen ist eine wesentliche Voraussetzung. Ohne sie kann die Aussage falsch werden.

Der Artikel zeigt dies am Maßraum S = [0,∞) mit borelscher σ-Algebra und Lebesgue-Maß. Für alle n ∈ N sei

f_n(x) = −(1/n) · 1_{[0,n]}(x).

Diese Folge konvergiert auf S sogar gleichmäßig gegen die Nullfunktion. Das Integral des Grenzwerts ist daher 0. Jedes einzelne f_n hat aber Integral −1. Somit gilt:

0 = ∫S lim{n→∞} f_n dμ > lim_{n→∞} ∫_S f_n dμ = −1.

Das widerspricht der Ungleichungsrichtung des Lemmas von Fatou. Deshalb kann man auf die Voraussetzung, dass die Funktionen nichtnegativ sind, nicht verzichten.