Infimum und Supremum

Grundidee und Definition

Supremum und Infimum sind Begriffe aus der Ordnungstheorie. Sie werden bei halbgeordneten Mengen verwendet, also bei Mengen, auf denen eine Ordnungsrelation \leq definiert ist. Anschaulich ist das Supremum einer Menge die kleinste obere Schranke: Es liegt über allen Elementen der Menge und ist unter allen solchen oberen Schranken das kleinste. Das Infimum ist entsprechend die größte untere Schranke: Es liegt unter allen Elementen der Menge und ist unter allen unteren Schranken das größte.

Ist M eine halbgeordnete Menge mit Halbordnung \leq und T\subseteq M, dann heißt ein Element b\in M obere Schranke von T, wenn x\leq b für alle x\in T gilt. Analog heißt b untere Schranke von T, wenn b\leq x für alle x\in T gilt. Existiert eine obere beziehungsweise untere Schranke, heißt T nach oben beziehungsweise nach unten beschränkt. Eine Menge heißt beschränkt, wenn sie nach oben und nach unten beschränkt ist.

Ein Element b\in M heißt Supremum von T, wenn b eine kleinste obere Schranke von T ist. Es heißt Infimum von T, wenn es eine größte untere Schranke von T ist. Wenn Supremum oder Infimum existieren, sind sie eindeutig bestimmt.

Supremum, Maximum, Infimum und Minimum in den reellen Zahlen

Bei Teilmengen der reellen Zahlen ist die Idee besonders anschaulich. Für X:=\{x\in\mathbb{R}:x<2\}\subseteq\mathbb{R} ist 2 das Supremum von X. Die Zahl 2 ist eine obere Schranke, weil jedes Element von X kleiner als 2 ist. Zugleich gibt es keine Zahl kleiner als 2, die noch obere Schranke von X wäre. Also ist 2 die kleinste obere Schranke.

Diese Menge X hat kein Maximum. Ein Maximum müsste selbst Element der Menge sein und zugleich größer oder gleich allen anderen Elementen. Zu jeder Zahl a<2 gibt es aber wieder eine größere Zahl b<2, zum Beispiel b=\frac{a+2}{2}. Die Zahl 2 liegt nicht in X, weil 2 nicht kleiner als sich selbst ist.

Für X':=\{x\in\mathbb{R}:x\leq 2\}\subseteq\mathbb{R} ist 2 dagegen Maximum und zugleich Supremum. Allgemein ist jedes Maximum auch ein Supremum. Ein Maximum ist genau der Sonderfall, in dem das Supremum selbst zur betrachteten Menge gehört. Analog ist jedes Minimum auch ein Infimum, wenn das Infimum zur Menge gehört.

Existenz und Schreibweisen

Für reelle Zahlen gilt: Ist T nicht leer und nach oben beschränkt, dann besitzt T eine kleinste obere Schranke, das Supremum \sup(T). Ist T nicht leer und nach unten beschränkt, dann besitzt T eine größte untere Schranke, das Infimum \inf(T).

Falls T nach oben beschränkt ist und \sup(T)\in T gilt, bezeichnet man dieses Supremum auch als Maximum \max(T). Falls T nach unten beschränkt ist und \inf(T)\in T gilt, bezeichnet man dieses Infimum auch als Minimum \min(T).

Ist T nach oben unbeschränkt, schreibt man \sup T=+\infty. Dabei ist +\infty keine reelle Zahl und auch kein Supremum im eigentlichen hier definierten Sinn, sondern eine formale Schreibweise dafür, dass kein Supremum vorhanden ist. Entsprechend schreibt man bei nach unten unbeschränkten Mengen \inf T=-\infty. Gelegentlich wird +\infty in diesem Zusammenhang als „uneigentliches Supremum“ bezeichnet.

Suprema und Infima von Funktionen und Folgen

Der Begriff des Supremums wird auch auf Abbildungen, also Funktionen, übertragen. Grundlage ist die Bildmenge einer Funktion. Für eine Abbildung f\colon X\rightarrow Y ist die Bildmenge f(X):=\{f(x):x\in X\}=\{y\in Y:y=f(x)\text{ für ein }x\in X\}.

Wenn Y eine halbgeordnete Menge ist, definiert man das Supremum von f auf X, sofern es in Y existiert, durch \sup f:=\sup_{x\in X} f(x):=\sup f(X)=\sup\{f(x):x\in X\}. Das Supremum einer Funktion ist also das Supremum ihrer Bildmenge. Das Infimum einer Funktion wird analog definiert.

Auch Folgen können als Abbildungen verstanden werden. Eine Folge a_1,a_2,a_3,\dotsc von Elementen aus Y kann als Abbildung f\colon\mathbb{N}\rightarrow Y aufgefasst werden, wobei a_1=f(1), a_2=f(2), a_3=f(3),\dotsc. Damit ergibt sich das Supremum oder Infimum einer Folge direkt als Supremum oder Infimum der entsprechenden Bildmenge.

Wichtige Eigenschaften

Ist b eine obere Schranke von T und c>b, dann ist auch c eine obere Schranke von T. Ist umgekehrt c keine obere Schranke von T und b<c, dann ist auch b keine obere Schranke von T. Für untere Schranken gilt Entsprechendes.

In allgemeinen halbgeordneten Mengen kann es mehrere minimale obere Schranken geben. Eine minimale obere Schranke ist eine obere Schranke, unter der kein kleineres Element mehr obere Schranke ist. Gibt es aber mehr als eine minimale obere Schranke, dann gibt es keine kleinste obere Schranke und damit kein Supremum. Ein Beispiel ist M=\{a,b,c,d\} mit der Halbordnung \{a<c, b<c, a<d, b<d\}. Für T=\{a,b\} sind c und d minimale obere Schranken, aber es gibt kein Supremum.

Für eine nichtleere Teilmenge X der reellen Zahlen gilt außerdem eine wichtige Näherungseigenschaft: Ist \sup X<+\infty, dann gibt es für jedes \epsilon>0 ein x\in X mit (\sup X)-\epsilon<x. Ist \sup X=+\infty, dann gibt es für jedes k>0 ein x\in X mit k<x. Analog gilt: Ist \inf X>-\infty, dann gibt es für jedes \epsilon>0 ein x\in X mit x<(\inf X)+\epsilon. Ist \inf X=-\infty, dann gibt es für jedes k>0 ein x\in X mit x<-k.

Aus diesen Eigenschaften folgt: Hat eine nichtleere Teilmenge X\subseteq\mathbb{R} ein endliches Supremum \sup X<+\infty, dann kann man aus geeignet gewählten Elementen von X eine Folge (x_n) bilden, die gegen \sup X konvergiert. Entsprechend kann man bei \inf X>-\infty eine Folge aus Elementen von X bilden, die gegen \inf X konvergiert. Die dabei verwendeten Folgen müssen nicht monoton sein. Ist X endlich, dann ist das Supremum ein Maximum beziehungsweise das Infimum ein Minimum, und fast alle Folgenglieder sind diesem Wert gleich.

Existenz in den reellen Zahlen und Beispiele

Die Existenz des Supremums für beschränkte Teilmengen der reellen Zahlen kann auf verschiedene Weisen begründet werden. Eine Möglichkeit ist, die Existenz von Supremum und Infimum für beschränkte Teilmengen der reellen Zahlen als Axiom festzulegen; diese Forderung heißt Supremumsaxiom oder Vollständigkeitsaxiom. Eine andere Möglichkeit verwendet Intervallschachtelungen: Man konstruiert Intervalle [a_k,b_k], bei denen kein a_k obere Schranke einer beschränkten Menge M ist, aber jedes b_k eine obere Schranke ist. Die Intervallmitte c_k=\frac{a_k+b_k}{2} entscheidet jeweils, welche Intervallgrenze ersetzt wird. So entstehen eine monoton steigende Folge (a_k), eine monoton fallende Folge (b_k) und Längen d_k=b_k-a_k=d_1\cdot(\tfrac12)^{k-1}, also eine Nullfolge. Die Intervallschachtelung bestimmt eine reelle Zahl \sigma, die das Supremum von M ist. Eine äquivalente Formulierung ist das Schnittaxiom, nach dem jeder Dedekindsche Schnitt von einer reellen Zahl erzeugt wird.

Typische Beispiele in \mathbb{R} sind: \sup\{1,2,3\}=3; \sup\{x\in\mathbb{R}:0<x<1\}=\sup\{x\in\mathbb{R}:0\leq x\leq 1\}=1; \sup\{x\in\mathbb{Q}:x^2<2\}=\sqrt2\notin\mathbb{Q}; \sup\mathbb{Z}=+\infty; und für jedes a\in\mathbb{R} gilt \sup\{a\}=\inf\{a\}=\max\{a\}=\min\{a\}=a. Außerdem gelten für geeignete Mengen A und B: \sup\{a+b:a\in A\land b\in B\}=\sup A+\sup B sowie \sup(-A)=-\inf A beziehungsweise -\sup A=\inf(-A), wobei -A:=\{-x\in\mathbb{R}:x\in A\}.

In anderen halbgeordneten Mengen muss ein Supremum nicht existieren. Die Menge \mathbb{Q} ist zwar bezüglich der natürlichen Ordnung total geordnet, aber \{x\in\mathbb{Q}:x^2<2\} hat in \mathbb{Q} kein Supremum, obwohl sie zum Beispiel durch 1{,}42\in\mathbb{Q} nach oben beschränkt ist. In der durch Inklusion geordneten Menge {\mathcal X}:=\{\{1\},\{2\},\{1,2,3\},\{1,2,4\}\} ist M:=\{\{1\},\{2\}\} durch \{1,2,3\} und \{1,2,4\} nach oben beschränkt, besitzt aber kein Supremum in {\mathcal X}. Für die leere Menge gilt in beliebigen halbgeordneten Mengen: Jedes Element ist sowohl untere als auch obere Schranke von \emptyset. Daher ist \inf\emptyset das größte Element und \sup\emptyset das kleinste Element der Grundmenge, falls solche Elemente existieren; in \mathbb{N}=\{1,2,3,\dotsc\} hat \emptyset kein Infimum, und \sup\emptyset=1.