Leeres Produkt

Definition und grundlegende Bedeutung

Das leere Produkt ist ein Produkt mit null Faktoren. Ihm wird in der Regel das neutrale Element 1 der jeweiligen Multiplikation zugewiesen. Das neutrale Element verändert einen anderen Faktor bei der Multiplikation nicht.

Diese Festlegung ist besonders in kombinatorischen und abzählenden Betrachtungen sinnvoll: Es gibt genau eine Möglichkeit, nichts zu multiplizieren. Das leere Produkt ist daher nicht mit 0 · 0 zu verwechseln; dieses Produkt besitzt zwei Faktoren und hat den Wert 0. Ein Produkt mit genau einem Faktor ist gleich diesem Faktor.

In der Gruppen-, Ring- und Körpertheorie werden Produkte mit beliebig vielen Faktoren häufig induktiv definiert. Das leere Produkt bildet dabei den Anfang der Induktion.

Zusammenhang mit der leeren Summe und Potenzen

Die Addition von null Summanden heißt leere Summe. Sie erhält den Wert 0, also das neutrale Element der Addition. Leere Summe und leeres Produkt sind damit jeweils auf das neutrale Element ihrer Verknüpfung festgelegt.

Für jedes endliche Produkt mit N Faktoren und einen Logarithmus zur beliebigen Basis b ∈ ℝ₊ gilt:

∏ᵢ₌₁ᴺ xᵢ = b^(∑ᵢ₌₁ᴺ log_b xᵢ),

weil log(xy) = log x + log y gilt. Setzt man N = 0, erhält man:

∏ᵢ∈∅ xᵢ = b^(∑ᵢ∈∅ log_b xᵢ) = b⁰ = 1.

Die Wertzuweisungen für leeres Produkt und leere Summe passen daher mit den Rechenregeln für Logarithmen und Potenzen zusammen.

Folgen der Wertzuweisung

Aus b⁰ = 1 für reelles b folgt, dass die reellen Exponentialfunktionen x ↦ bˣ im Punkt 0 stetig und analytisch sind.

Davon zu unterscheiden ist die Funktion f: ℝ₊₀ → ℝ mit f(a) = 0ᵃ. Sie besitzt bei a = 0 eine Unstetigkeitsstelle. Im Zusammenhang mit Potenzen wird daher insbesondere die Bedeutung von 0⁰ betrachtet; bei der mengentheoretischen und kombinatorischen Festlegung des leeren Produkts ergibt sich 0⁰ = 1.

Leeres kartesisches Produkt und weitere Anwendungen

Das kartesische Produkt zweier Mengen A und B ist die Menge aller geordneten Paare (a,b) mit a ∈ A und b ∈ B. Allgemein ist das kartesische Produkt einer Mengenfamilie (Aᵢ)ᵢ∈I definiert als

∏ᵢ∈I Aᵢ = {f: I → ⋃ᵢ∈I Aᵢ | für alle i ∈ I gilt f(i) ∈ Aᵢ}.

Sind alle Aᵢ gleich A, so gilt Aᴵ = ∏ᵢ∈I Aᵢ = {f: I → A}. Für I = ∅ folgt:

∏ᵢ∈∅ Aᵢ = A^∅ = {f: ∅ → A} = {∅}.

Es gibt also genau eine Funktion von der leeren Menge nach A. Da mengentheoretisch 0 := ∅ und 1 := {∅} definiert werden können, folgt A⁰ = 1 und insbesondere 0⁰ = 1.

Weitere Anwendungen ergeben sich bei der Primfaktorzerlegung, der Fakultät und den Binomialkoeffizienten. Die Zahl 1 hat keine Primfaktoren; deshalb kann ihr die leere Primfaktorzerlegung zugeordnet werden. Aus der Fakultätsdefinition folgt 0! = ∏ᵢ₌₁⁰ i = ∏ᵢ∈∅ i = 1. Außerdem gibt es genau eine Möglichkeit, aus n Stück nichts auszuwählen, daher gilt (n über 0) = 1, insbesondere (0 über 0) = 1.