Lösen von Ungleichungen

Grundidee und Grundregeln

Beim Lösen von Ungleichungen über den reellen Zahlen wird eine zunächst unübersichtliche Aussage so umgeformt, dass einfache Aussagen wie x > 5 entstehen. Die Lösungsmenge kann anschließend unmittelbar verstanden oder auf der Zahlengeraden dargestellt werden. Grundsätzlich gelten ähnliche Regeln wie beim Lösen von Gleichungen; wegen der asymmetrischen Vergleichszeichen <, ≤, ≥ und > muss jedoch besonders auf die Vorzeichen geachtet werden.

Ungleichungen werden durch Äquivalenzumformungen gelöst. Addition oder Subtraktion desselben Ausdrucks auf beiden Seiten verändert die Lösungsmenge nicht. Für reellwertige Terme T₁(x), T₂(x) und a ∈ ℝ gilt beispielsweise:

• T₁(x) ≤ T₂(x) ⇔ T₁(x) + a ≤ T₂(x) + a.
• T₁(x) ≤ T₂(x) ⇔ T₁(x) − a ≤ T₂(x) − a.

Bei Multiplikation oder Division mit einer Konstanten bleibt das Vergleichszeichen bei a > 0 erhalten. Bei a < 0 wird es umgedreht:

• T₁(x) ≤ T₂(x) ⇔ T₁(x) · a ≥ T₂(x) · a beziehungsweise T₁(x) ÷ a ≥ T₂(x) ÷ a.

Für a = 0 liegt keine Äquivalenzumformung vor.

Allgemeiner bleibt die Ordnung bei Anwendung einer bijektiven, streng monoton steigenden Funktion f erhalten. Bei einer bijektiven, streng monoton fallenden Funktion wird die Ordnung umgekehrt. Funktionen, die nur auf einer Teilmenge streng monoton sind, dürfen nur angewendet werden, wenn sichergestellt ist, dass beide Terme in dieser Teilmenge liegen. Andernfalls ist eine Fallunterscheidung nötig.

Besonders wichtig ist das Potenzieren. Für positive Terme gilt bei a > 0: 0 < T₁(x) ≤ T₂(x) ⇔ 0 < (T₁(x))ᵃ ≤ (T₂(x))ᵃ. Bei a < 0 kehrt sich die Ordnung um. Das Ziehen der Quadratwurzel entspricht a = 1/2, das Bilden des Kehrwerts a = −1. Beim Kehrwert gilt daher: 0 < T₁(x) ≤ T₂(x) ⇔ 1/T₁(x) ≥ 1/T₂(x) > 0.

Lineare und quadratische Ungleichungen

Einzelne lineare Ungleichungen werden ähnlich wie lineare Gleichungen durch Addition, Subtraktion und Multiplikation mit Konstanten gelöst. Für Systeme linearer Ungleichungen in mehreren Variablen sind Pivotverfahren und allgemein Verfahren der linearen Optimierung wichtige Ansätze.

Bei quadratischen Ungleichungen wird der Lösungsbereich normalerweise durch die Lösungen der zugehörigen quadratischen Gleichung in drei Abschnitte geteilt. Je nach Vergleichszeichen sind entweder die äußeren oder der innere Abschnitt der Zahlengeraden Lösungen.

Ein Verfahren ist die quadratische Ergänzung. Für x² − 0,5x − 0,5 > 0 ergibt sich:

x² − 0,5x > 0,5, x² − 0,5x + 0,25² > 0,5625, (x − 0,25)² > 0,75².

Das Quadrat darf nicht einfach „weggekürzt“ werden. Weil 0,75² > 0, darf die Wurzel gezogen werden; dabei gilt √((x − 0,25)²) = |x − 0,25|. Für x ≥ 0,25 folgt x − 0,25 > 0,75 und damit x > 1. Für x < 0,25 folgt 0,25 − x > 0,75 und damit x < −0,5. Die Lösungsmenge ist also x < −0,5 oder x > 1. Bei der entsprechenden Ungleichung x² − 0,5x − 0,5 < 0 wären dagegen alle Zahlen zwischen −0,5 und +1 Lösungen.

Übersichtlicher ist häufig die Umformung in ein Produkt. Die quadratische Gleichung x² − 1/2 x − 1/2 = 0 hat die Lösungen x₁ = −1/2 und x₂ = 1. Daher gilt: x² − 1/2 x − 1/2 = (x + 1/2)(x − 1). Für (x + 1/2)(x − 1) > 0 sind beide Faktoren entweder negativ oder positiv. Die Lösung lautet deshalb x < −1/2 oder x > 1. Im Zwischenbereich −1/2 ≤ x ≤ 1 ist das Produkt nicht positiv.

Hat x² + px + q = 0 keine reelle Lösung, also q > p²/4, dann gilt x² + px + q = (x − p/2)² + (q − p²/4) > 0. Eine entsprechende Ungleichung hat dann entweder keine Lösung oder ist für alle reellen Zahlen erfüllt.

Ungleichungen höherer Ordnung und Bruchungleichungen

Bei Ungleichungen ab der Ordnung 3 ist meist die Umwandlung in eine Produktungleichung praktikabel. Beispiele sind (x − a)(x − b)(x − c) > 0 für drei reelle Nullstellen oder (x − a)(x² + bx + c) > 0 für ein Paar komplexer Nullstellen. Nach dem Fundamentalsatz der Algebra ist eine solche Faktorisierung für Polynome beliebig hoher Ordnung möglich. Die Nullstellen lassen sich jedoch nicht immer analytisch berechnen; dann werden meist numerische Verfahren wie die Bisektion verwendet. Eine graphische Lösung kann bei der Suche nach geeigneten Startwerten helfen.

Bei Bruchungleichungen entstehen zusätzliche Schwierigkeiten, wenn x in mindestens einem Nenner vorkommt. Vor dem Multiplizieren muss geprüft werden, für welche x-Werte die Nenner negativ oder null sind. Bei Multiplikation mit einem negativen Nenner dreht sich das Vergleichszeichen um; bei zwei negativen Nennern geschieht dies zweimal und die Umkehrungen heben sich auf. Werte, für die ein Nenner null ist, sind nicht zulässig.

Für (x − 1,6)/(x + 0,2) < (0,2 − x)/(x + 0,6) liegen die Ausschlusswerte bei x = −0,2 und x = −0,6. Die Vorzeichen der Nenner müssen in den Bereichen x < −0,6, −0,6 < x < −0,2 und x > −0,2 getrennt betrachtet werden. Im mittleren Bereich führt die Umformung auf x² − 0,5x − 0,5 > 0; daraus bleiben wegen der Bereichseinschränkung die Werte −0,6 < x < −0,5. In den äußeren Bereichen ergibt sich als weiterer Lösungsbereich −0,2 < x < 1. Insgesamt gilt die Ungleichung für −0,6 < x < −0,5 und für −0,2 < x < 1.

Ein oft übersichtlicheres Verfahren besteht darin, alle Terme auf eine Seite zu bringen und anschließend einen gemeinsamen Nenner zu bilden: [2x² − 1,0x − 1]/[(x + 0,2)(x + 0,6)] < 0. Durch Faktorisieren erhält man 2(x + 0,5)(x − 1)/[(x + 0,2)(x + 0,6)] < 0. Die Zahlengerade wird an den Nullstellen der Faktoren und an den Definitionslücken −0,6, −0,2 in Bereiche geteilt. In jedem Bereich bleiben die Vorzeichen der Faktoren konstant. Die systematische Darstellung dieser Prüfung heißt Vorzeichentabelle und liefert dieselbe Lösungsmenge.

Betragsungleichungen

Betragsungleichungen enthalten mindestens einen Betrag. Sie werden in der Regel durch eine Fallunterscheidung gelöst. Für den Betrag muss jeweils geprüft werden, ob der Ausdruck im Betrag nichtnegativ oder negativ ist.

Beispiel: |x + 1| < 5.

Für x + 1 ≥ 0 gilt x + 1 < 5, also x ≥ −1 und x < 4. Für x + 1 < 0 gilt −(x + 1) < 5, also x < −1 und x > −6. Die beiden Teilmengen vereinigen sich zu L = ]−6; −1[ ∪ [−1; 4[ = ]−6; 4[.

Ausnahmsweise kann hier auch quadriert werden: (x + 1)² < 5² ⇔ x² + 2x − 24 < 0. Die daraus bestimmten Grenzen sind x = −1 ± 5, also −6 und 4. Dieses Vorgehen macht die Ungleichung aber länger und verliert das Vorzeichen der rechten Seite. Deshalb besitzen |x + 1| > 5 und |x + 1| > −5 beim Quadrieren dieselbe scheinbare Lösung, obwohl die ursprünglichen Aussagen nicht dieselbe Bedeutung haben.

Ein Beispiel mit getrennten Lösungsintervallen ist x + 3 ≤ |4x − 2|. Für 4x − 2 ≥ 0 erhält man x ≥ 1/2 und x ≥ 5/3, also x ≥ 5/3. Für 4x − 2 < 0 erhält man x < 1/2 und x < −1/5, also x < −1/5. Damit lautet die Lösungsmenge L = ]−∞; −1/5[ ∪ [5/3; +∞[.

Graphische Verfahren

Graphische Verfahren geben im Rahmen der Zeichengenauigkeit Anhaltspunkte über Anzahl und Lage der Lösungen. Liegt eine Ungleichung in einer Form vor, die einer Gleichungsnormalform entspricht, kann die linke Seite als Funktion aufgefasst und mithilfe einer Wertetabelle gezeichnet werden. Die Nullstellen, also die Schnittpunkte des Graphen mit der x-Achse, teilen die Zahlengerade in Bereiche. Je nach Vorzeichen der Funktion sind die Bereiche links oder rechts der Nullstellen die Lösungsmengen.

Sind linke und rechte Seite nicht bereits zu einer Seite zusammengefasst, werden die beiden zugehörigen Funktionen gemeinsam in ein Koordinatensystem eingezeichnet. Die x-Werte ihrer Schnittpunkte bilden die Grenzen der Lösungsbereiche. Für die Beispiele x² < 0,5x + 0,5 und x² > 0,5x + 0,5 sind die Bereiche zwischen beziehungsweise außerhalb der Schnittpunkte Lösungen. Das graphische Verfahren dient vor allem zur Veranschaulichung und zur ungefähren Bestimmung; die Genauigkeit ist durch die Zeichnung begrenzt.