Flachpunkt

Grunddefinition

Ein Flachpunkt ist ein Punkt (x_0|f(x_0)) auf dem Graphen einer reellen Funktion, an dem f''(x_0)=0 gilt. Dafür muss die Funktion an dieser Stelle mindestens zweimal differenzierbar sein.

Nach dieser Definition gehören sowohl Wendepunkte als auch sogenannte echte Flachpunkte zu den Flachpunkten.

Wendepunkte und echte Flachpunkte

Bei einem Wendepunkt wechselt die zweite Ableitung ihr Vorzeichen. Dadurch geht eine Linkskrümmung in eine Rechtskrümmung über oder umgekehrt. In der beschriebenen Grafik liegt ein solcher Punkt bei x=-1.

Bei einem echten Flachpunkt ändert sich das Krümmungsverhalten dagegen nicht. Sofern die Funktion mindestens dreimal differenzierbar ist, sind dort neben der zweiten auch mindestens die dritte Ableitung gleich 0; die entsprechende höhere Ableitung weist einen Vorzeichenwechsel auf. Die Grafik zeigt einen echten Flachpunkt bei x=2.

Flachpunkte mit einem Anstieg lassen sich nach ihrer Art als Flachstieg oder Flachfall bezeichnen.

Alternative Definition

Manche Autoren verwenden den Begriff enger: Sie verlangen zusätzlich, dass sich das Krümmungsverhalten nicht ändert und der Anstieg ungleich 0 ist. Flachpunkte sind dann Nullstellen gerader Ordnung der zweiten Ableitung. Diese Punkte entsprechen genau den echten Flachpunkten der ersten Definition.

Nach dieser engeren Definition sind Wendepunkte keine Flachpunkte. Auch Extrempunkte mit vielfachen Nullstellen zählen nicht dazu.

Kriterium der geraden Vielfachheit

Die alternative Definition lässt sich durch folgende Bedingungen ausdrücken:

• f''(x_0)=0
• f'' besitzt bei x_0 eine Nullstelle gerader Vielfachheit.

Dann wechselt f'' bei x_0 nicht das Vorzeichen und hat dort ein Extremum. Deshalb ändert sich die Krümmungsrichtung nicht: Es liegt nach dieser Definition ein Flachpunkt und kein Wendepunkt vor.