Vertikalwinkel

Grundbegriffe und Beziehungen

Vertikalwinkel sind Winkel, die in einer lotrechten Ebene gemessen werden. In der Geodäsie und Astrometrie beziehen sie sich insbesondere auf die Lotrichtung, also die Richtung der Schwerkraft. Sie dienen unter anderem zur Bestimmung von Höhen, geografischen Koordinaten sowie zur Vermessung terrestrischer Objekte und zur Einmessung von Himmelskörpern.

Als Bezugspunkte werden Zenit, Nadir und Horizont verwendet. Der Zenit ist der Punkt senkrecht über dem Beobachter, der Nadir liegt ihm genau gegenüber. Daraus ergeben sich vier Vertikalwinkel:

• Der Zenitwinkel z, auch Zenitdistanz oder Zenitabstand, ist der Winkel eines Punktes unter dem Zenit.
• Der Höhenwinkel h, auch Höhe, Elevation oder Altitude, ist der Winkel eines Punktes über dem Horizont.
• Der Tiefenwinkel t, auch Depressionswinkel, ist der Winkel eines Punktes unter dem Horizont.
• Der Nadirwinkel n ist der Winkel eines Punktes über dem Nadir.

Für Punkte über dem Horizont gilt h + z = 90°. Für Punkte unter dem Horizont gilt n + t = 90°. Höhen- und Tiefenwinkel entsprechen dem Sehwinkel zwischen Visierlinie und Horizont; Zenit- und Nadirwinkel entsprechen dem Sehwinkel zwischen Visierlinie und Lotrichtung.

Winkelarten und Einheiten

Der Höhenwinkel wird in der Astronomie auch kurz als Höhe bezeichnet. In der Geodäsie bedeutet „Höhe“ dagegen den lotrechten Abstand von einer Referenzfläche. Höhenmessungen mit Libellen- oder pendelkompensierten Instrumenten beziehen sich auf den mathematischen Horizont, der durch die Lotrichtung festgelegt wird. In der Seefahrt wurden mit Sextanten Sonnen- oder Sternhöhen über der Kimm gemessen, der scheinbaren Trennlinie zwischen Meer und Himmel. Die Kimmtiefe muss von dieser Messung abgezogen werden, um den Höhenwinkel zu erhalten.

Ein Tiefenwinkel wird für Punkte unter dem Horizont verwendet, etwa wenn der Beobachter höher steht als das Ziel. Der zugehörige Höhenwinkel ist dann negativ, der Tiefenwinkel positiv; es gilt t = −h. Der Tiefenwinkel darf nicht mit dem Neigungswinkel verwechselt werden. Dieser beschreibt die Neigung eines Geräts gegenüber der Lotrichtung und kann positiv oder negativ sein.

Der Zenitwinkel liegt immer zwischen 0° und 180°: Bei Objekten über dem Horizont beträgt er 0° bis 90°, bei Objekten unter dem Horizont 90° bis 180°. Dadurch benötigt er kein Vorzeichen. Außerdem besteht ein direkter Bezug zur Vertikalachse des Messinstruments, und der Zenit ist eindeutig definiert. Deshalb geben die meisten Messgeräte den Zenitwinkel als Vertikalwinkel aus.

In der Astronomie werden Vertikalwinkel häufig in Grad oder sexagesimal in Grad-Minuten-Sekunden (° ′ ″) angegeben. In der Geodäsie verwendet man Gon. Beim Militär und in der Ballistik kommt außerdem der Strich zum Einsatz: 6400 Strich = 360°. Der Sinus von 1 Strich ist fast genau 0,001, was die Entfernungsmessung erleichtert.

Astronomie, Geodäsie und Nadirwinkel

In der Astronomie heißt der Höhenwinkel eines Himmelskörpers astronomische Höhe oder Altitude und wird üblicherweise mit h bezeichnet. Er kann zwischen +90° im Zenit und −90° im Nadir liegen. Eine positive Höhe bedeutet, dass das Objekt über dem Horizont steht, eine negative Höhe, dass es darunter steht. Zusammen mit dem Azimut a bildet die Höhe h ein topozentrisches horizontales Koordinatensystem, allgemeiner ein azimutales Koordinatensystem.

In der Geodäsie werden hauptsächlich zwei Vertikalwinkel verwendet, weil sie für ihre Ausgangslage eindeutig bestimmt werden können: der Zenitwinkel ζ beziehungsweise z als Winkel eines Punktes unter dem Zenit und der Höhenwinkel β beziehungsweise b als Winkel eines Punktes über oder unter dem Horizont. Das Vorzeichen des Höhenwinkels gibt dabei die Richtung an. Es gilt β + ζ = 90°. Ein Tiefenwinkel wird üblicherweise als Höhenwinkel mit negativem Vorzeichen ausgedrückt; der Nadirwinkel wird durch den supplementären Zenitwinkel ersetzt.

Nadirwinkel werden vor allem in der Fernerkundung und Photogrammetrie verwendet. Bei Luftbildaufnahmen liegt der Winkel zum Nadir idealerweise um 0° herum. Zu große Abweichungen vom Nadir führen zu Bildverzerrungen und können die Orthogonalaufnahme unbrauchbar machen. Bei Punkten in Horizontnähe beträgt der zum Horizont gerichtete Nadirwinkel 90°.

Messung und Richtungsbezug

Ein gemessener Vertikalwinkel bezieht sich auf die wahre Lotrichtung, auch astronomische Lotrichtung genannt, und damit auf das natürliche Koordinatensystem. Ein geodätisch berechneter Vertikalwinkel kann sich jedoch auch auf die Normale des Erdellipsoids im Messpunkt beziehen. Zwischen dieser Ellipsoidnormalen und dem wahren Lot besteht die Lotabweichung, die auf dem Geoid und damit auf dem messbaren Schwerefeld der Erde beruht. Sie kann im Hügelland etwa 10″ und im Hochgebirge 30–60″ betragen.

Eine Libelle oder ein Lotsensor stellt den Bezug des Messgeräts zur exakten Lotrichtung her. Ein Lotsensor kann als Flüssigkeitskompensator im Strahlengang des Zielfernrohrs oder als kleiner Pendelkörper in der Ableseoptik ausgeführt sein. In Technik und Navigation wird teilweise auch auf Kreiselplattformen Bezug genommen.

Die wichtigsten Messgeräte sind nach ihrer Messgenauigkeit geordnet: Zenitteleskop und Fotografisches Zenitteleskop; Zenitkameras, Meridiankreis und Passageninstrument mit ±0,01…0,1″; Theodolit und Tachymeter je nach Zweck mit ±0,5…10″; Lotinstrumente und Neigungsmesser sowie für nautische Höhenmessungen Sextanten mit ±0,5…5′; Winkelmesser und Peilgeräte mit ±0,2…1°; außerdem das Astrolab, ein Navigationsgerät der frühen Seefahrer, mit etwa ±0,5°.

Korrekturen bei präzisen Messungen

Für Genauigkeiten von mehr als einer Bogenminute muss der gemessene Vertikalwinkel insbesondere wegen Höhenindexfehler und Refraktion korrigiert werden.

Der Höhenindexfehler ist die Abweichung der Nullrichtung des Instruments von der Lotrichtung beziehungsweise von der Horizontalen. Er wird mit der Höhenkreis-Libelle oder bei neueren Theodoliten mit einem Neigungssensor bestimmt.

Die Refraktion bezeichnet die Beeinflussung jeder Messung innerhalb der Erdatmosphäre durch die Lichtbrechung. Verläuft der Lichtstrahl vollständig innerhalb der Atmosphäre, spricht man von terrestrischer Refraktion. Bei der Einmessung eines Gestirns oder Erdsatelliten heißt die Lichtkrümmung Satelliten- beziehungsweise astronomische Refraktion. Sie beträgt bei einem Zenitwinkel z = 45° etwa 1′ (55–65″) und bei horizontnahen Gestirnen bis zu 0,6° (33–40′). Die terrestrische Refraktion wird in Bruchteilen der Erdkrümmung angegeben und beträgt im Durchschnitt das 0,13-Fache des reziproken Erdradius; in Bodennähe, insbesondere im Sommer, kann sie auch negative Werte annehmen.

Bei speziellen Aufgaben der Erdmessung und Landesvermessung ist zusätzlich eine Reduktion wegen der Lotabweichung erforderlich. Diese kann bis zu 50″ betragen.