Sphärische Geometrie

Kernidee und Grundbegriffe

Die sphärische Geometrie, auch Kugelgeometrie oder Geometrie auf der Kugel, untersucht Punkte und Punktmengen auf einer Kugeloberfläche. Sie ist unter anderem durch die Geometrie der Erdkugel und der Himmelssphäre motiviert. Mathematisch ist sie wichtig, weil sie bei geeigneter Definition des Punktes ein Modell der elliptischen Geometrie bildet und zugleich die Axiome der projektiven Geometrie erfüllt.

Sie unterscheidet sich deutlich von der ebenen euklidischen Geometrie. Es gibt keine Parallelen: Die Geraden der sphärischen Geometrie sind Großkreise, und zwei Großkreise schneiden sich immer. Auch bekannte euklidische Sätze gelten nicht unverändert. Zum Beispiel hat ein Kugeldreieck nicht die Winkelsumme 180°, und der Satz des Pythagoras gilt auf der Kugel nicht in seiner ebenen Form. Es gibt aber angepasste Formeln und Regeln.

Geraden, Punkte und Strecken

Die Rolle der Geraden übernehmen in der sphärischen Geometrie die Großkreise. Ein Großkreis ist ein Kreis auf der Kugel, dessen euklidischer Mittelpunkt zugleich der Kugelmittelpunkt ist. Man erhält ihn als Schnitt der Kugeloberfläche mit einer Ebene, die durch den Kugelmittelpunkt geht. Auf einem Globus sind der Äquator und die Meridiane Beispiele für Großkreise.

Ein Punkt kann unterschiedlich aufgefasst werden. In der geographischen Auffassung ist ein sphärischer Punkt einfach ein Punkt des dreidimensionalen euklidischen Raums, der auf der Kugeloberfläche liegt. Diese Definition ist anschaulich, hat aber geometrisch einen Nachteil: Zwei Gegenpunkte bestimmen nicht genau eine Gerade. Gegenpunkte sind Punkte, deren euklidische Verbindungsgerade durch den Kugelmittelpunkt verläuft, wie Nordpol und Südpol. Durch solche Gegenpunkte verlaufen unendlich viele Großkreise.

Deshalb verwendet man in der elliptischen Auffassung eine andere Definition: Ein Punkt wird mit seinem Gegenpunkt zusammengefasst. Dadurch wird jedes Paar von Gegenpunkten als ein einziger elliptischer Punkt verstanden. Entsprechend wird auch jede Figur auf der Kugel mit ihrer Gegenfigur identifiziert; ein Dreieck besteht dann zum Beispiel aus zwei Gegendreiecken.

Strecken sind auf der Kugel Großkreisbögen. Der Abstand zweier Punkte A und B ist die Länge des kürzesten Großkreisbogens zwischen ihnen. Auf der Einheitskugel mit Mittelpunkt M ist diese Länge gleich dem Winkel ∠AMB im Bogenmaß. Bei einer Kugel mit Radius r berechnet sich die tatsächliche sphärische Länge d durch d = ∠AMB · r. Bei elliptischer Punktdefinition entspricht der sphärische Abstand auf der Einheitskugel dem kleineren Winkel zwischen den euklidischen Geraden, die die jeweiligen Gegenpunkte verbinden. Daher ist dieser Abstand nie größer als π/2.

Kreise und Koordinaten

Ein Kreis auf der Kugel entsteht durch den Schnitt der Kugel mit einer euklidischen Ebene. Wenn diese Ebene den Kugelmittelpunkt enthält, ist der Schnittkreis ein Großkreis und damit eine Gerade der sphärischen Geometrie. Wenn die Ebene den Kugelmittelpunkt nicht enthält, entsteht ein Kleinkreis. Auf dem Globus sind alle Breitengrade außer dem Äquator Kleinkreise.

Ein Koordinatensystem auf der Kugel wird eingerichtet, indem man zuerst willkürlich einen Großkreis als Äquator wählt. Danach bestimmt man einen Meridian als Nullmeridian und legt einen Drehsinn fest. Dann kann jede Position auf der Kugel eindeutig durch Winkelangaben vom Äquator und vom Nullmeridian aus festgelegt werden. Breitenkreise verlaufen parallel zum Äquator, Längenkreise gehen durch die beiden Pole.

Flächen auf der Kugel

Ein Kugelzweieck entsteht, wenn zwei Großkreise mit den Schnittpunkten P und P' die Kugeloberfläche schneiden. Diese beiden Großkreise teilen die Kugeloberfläche in vier Kugelzweiecke. Ein Kugelzweieck wird von zwei Kreisbögen begrenzt, die P und P' verbinden. Seine Fläche AZ verhält sich zur gesamten Kugeloberfläche AK wie sein Öffnungswinkel α zum Vollwinkel. Es gilt:

AZ = (α / 2π) · AK = (α / 2π) · 4πr² = 2αr².

Auf der Einheitskugel gilt besonders einfach: AZ = 2α.

Für ein Kugeldreieck mit den Winkeln α, β und γ lautet die Flächenformel:

AD = (α + β + γ − π) · r².

Da der Flächeninhalt größer als Null ist, muss die Winkelsumme eines sphärischen Dreiecks größer als π beziehungsweise größer als 180° sein: α + β + γ > π. Der Überschuss gegenüber der Winkelsumme eines euklidischen Dreiecks heißt sphärischer Exzess. Dieser sphärische Exzess ist proportional zum Flächeninhalt des Dreiecks; auf der Einheitskugel ist er mit dem Flächeninhalt sogar gleich.

Projektive Sicht und Dualität

Mit der elliptischen Definition der Punkte ist die sphärische Geometrie eine projektive Ebene. In der projektiven Geometrie können Sätze dualisiert werden. Das bedeutet, dass man die Begriffe Punkt und Gerade vertauscht. Entsprechend werden auch Längen und Winkel miteinander vertauscht.

Auf der Kugel kann jeder Geraden a eindeutig ein dualer Punkt A zugeordnet werden, und umgekehrt jedem Punkt A eine duale Gerade a. Zu einem Kreis erhält man das duale Punktepaar als Schnittpunkte der Kugel mit der Senkrechten zur Ebene des Kreises, wobei diese Senkrechte durch den Kugelmittelpunkt verläuft.

Bei dieser Dualisierung bleibt Inzidenz erhalten. Inzidenz bedeutet hier, dass ein Punkt auf einer Geraden liegt. Wenn also ein Punkt A auf einer Geraden b liegt, dann verläuft die zu A duale Gerade a durch den zur Geraden b dualen Punkt B. Außerdem gehen Winkel und Längen ineinander über: Das Maß d des Winkels zwischen zwei Geraden a und b entspricht auf der Einheitskugel dem Maß des Abstands d zwischen den zugehörigen dualen Punkten A und B. Diese Dualität ist eine spezielle Korrelation, nämlich eine elliptische projektive Polarität.

Grenzfall zur Ebene

Für Berechnungen auf der Kugeloberfläche gilt eine wichtige Grenzfallregel. Alle Formeln, die den Kugelradius r enthalten und damit die absolute Größe der Kugel berücksichtigen, müssen im Grenzfall r → ∞ in gültige Formeln der ebenen Geometrie übergehen. Die ebene Geometrie erscheint damit als Grenzfall der Kugelgeometrie, wenn der Radius immer größer wird.