Kritischer Punkt (Mathematik)

Grundidee und Definition

Ein kritischer oder stationärer Punkt beschreibt eine Stelle, an der sich eine stetig differenzierbare Abbildung in einem bestimmten Sinn nicht „regulär“ verhält. Allgemein betrachtet man eine offene Menge U ⊂ ℝⁿ und eine stetig differenzierbare Funktion f: U → ℝᵐ. Ein Punkt x₀ ∈ U heißt kritischer oder stationärer Punkt von f, wenn das totale Differential Df(x₀) nicht surjektiv ist. Das bedeutet: Der Rang von Df(x₀) ist kleiner als m, also rang(Df(x₀)) < m. Das totale Differential ist die lineare Abbildung, die das lokale Änderungsverhalten von f an der Stelle x₀ beschreibt.

Ist das Differential an einer Stelle surjektiv, handelt es sich nicht um einen kritischen, sondern um einen regulären Punkt. Ein Wert y ∈ ℝᵐ heißt kritischer oder stationärer Wert, wenn es einen kritischen Punkt x₀ ∈ U mit f(x₀) = y gibt. Gibt es keinen kritischen Punkt im Urbild eines Wertes, nennt man den Wert regulär.

Wichtige Spezialfälle

Im eindimensionalen Fall ist die Definition besonders einfach. Für eine stetig differenzierbare Funktion f: U ⊆ ℝ → ℝ ist ein Punkt x genau dann kritisch, wenn die Ableitung dort verschwindet, also f′(x) = 0 gilt.

Beispiel: Für die Polynomfunktion f(x) = 6x − 1/2 x² − 1/3 x³ gilt f′(x) = 6 − x − x². Die Gleichung f′(x) = 0 ist genau dann erfüllt, wenn x = −3 oder x = 2 ist. Deshalb sind x = −3 und x = 2 die kritischen Punkte dieser Funktion.

Bei einer stetig differenzierbaren reellwertigen Funktion f in n reellen Variablen ist ein Punkt x = (x₁, …, xₙ) ∈ ℝⁿ genau dann kritisch, wenn der Gradient an dieser Stelle der Nullvektor ist. Das heißt, alle partiellen Ableitungen verschwinden dort: ∂f/∂x₁(x) = … = ∂f/∂xₙ(x) = 0. Der Gradient fasst die partiellen Ableitungen einer Funktion zusammen und zeigt die Richtung der stärksten Änderung an.

Eigenschaften und Bedeutung

Die Menge der kritischen Punkte kann sehr groß sein. Bei einer konstanten Abbildung ist zum Beispiel jeder Punkt im Urbild kritisch. Außerdem ist nach der Definition jeder Punkt kritisch, wenn n < m gilt, selbst im Fall einer Immersion.

Trotzdem sind kritische Werte in einem wichtigen Sinn selten: Der Satz von Sard besagt, dass die Menge aller kritischen Werte einer genügend differenzierbaren Abbildung Maß null besitzt. Das wird anschaulich so verstanden, dass es „sehr wenige“ kritische Werte gibt.

Kritische Werte sind wichtig, weil an ihnen der Satz vom regulären Wert im Allgemeinen nicht mehr gilt. Das Urbild eines kritischen Wertes ist im Allgemeinen keine Mannigfaltigkeit. Eine Mannigfaltigkeit ist ein Raum, der lokal wie ein euklidischer Raum aussieht.

Entartete kritische Punkte

Bei reellwertigen Funktionen kann man mithilfe der Hesse-Matrix untersuchen, ob ein kritischer Punkt entartet ist. Die Hesse-Matrix ist die Matrix der zweiten partiellen Ableitungen einer Funktion. Ein kritischer Punkt ist genau dann entartet, wenn die Hesse-Matrix singulär ist, also nicht invertierbar.

Mit Funktionen ohne entartete kritische Punkte beschäftigt sich die Morsetheorie. Liegt keine Entartung vor, kann man bei reellwertigen Funktionen außerdem feststellen, ob der kritische Punkt ein lokales Minimum, ein lokales Maximum oder ein Sattelpunkt ist.