Hesse-Matrix

Begriff und Definition

Die Hesse-Matrix ist in der mehrdimensionalen reellen Analysis das Analogon zur zweiten Ableitung einer Funktion. Sie ist eine quadratische Matrix und wird unter anderem zur Approximation mehrdimensionaler Funktionen sowie bei der Optimierung von Systemen mit mehreren Parametern verwendet, etwa in Wirtschaftswissenschaften, Physik, theoretischer Chemie und Ingenieurwissenschaften.

Für eine zweimal stetig differenzierbare Funktion f: D ⊆ ℝⁿ → ℝ und einen Punkt x = (x₁, …, xₙ) ∈ D ist sie definiert durch H_f(x) := (∂²f/(∂xᵢ∂xⱼ)(x))ᵢ,ⱼ=1,…,n.

Die Matrix enthält alle zweiten partiellen Ableitungen. Sie entspricht der Transponierten der Jacobi-Matrix des Gradienten. Wegen der Vertauschbarkeit der Differentiationsreihenfolge bei stetigen zweiten Ableitungen ist sie symmetrisch; das Transponieren verändert sie daher nicht.

Beispiele für Hesse-Matrizen

Für f: ℝ² → ℝ mit f(x,y) = x³ + y³ − 3xy lauten die ersten partiellen Ableitungen ∂f/∂x = 3x² − 3y und ∂f/∂y = 3y² − 3x.

Die zweiten Ableitungen sind ∂²f/(∂x∂x) = 6x, ∂²f/(∂x∂y) = −3, ∂²f/(∂y∂x) = −3, ∂²f/(∂y∂y) = 6y.

Damit ergibt sich H_f(x,y) = ((6x, −3), (−3, 6y)).

Ein weiteres Beispiel ist die euklidische Norm r: ℝⁿ → ℝ, r(x) = ‖x‖ = √(∑ⱼ₌₁ⁿ xⱼ²). Für x ≠ 0 gilt ∂r/∂xⱼ = xⱼ/‖x‖ und ∂²r/(∂xᵢ∂xⱼ) = (1/‖x‖)δᵢⱼ − xᵢxⱼ/‖x‖³.

Dabei bezeichnet δᵢⱼ = ∂xⱼ/∂xᵢ das Kronecker-Delta. In Matrixschreibweise lautet die Hesse-Matrix H_r(x) = (1/‖x‖)Eₙ − (1/‖x‖³)xxᵀ, wo Eₙ die n×n-Einheitsmatrix ist.

Taylor-Entwicklung

Für eine zweimal stetig differenzierbare Funktion f: D → ℝ mit D ⊆ ℝⁿ beginnt die Taylor-Entwicklung um die Entwicklungsstelle a ∈ D mit T(x) = f(a) + (x−a)ᵀ grad f(a) + 1/2 (x−a)ᵀH_f(a)(x−a) + … .

Die Terme zweiter Ordnung werden durch eine quadratische Form beschrieben. Die Matrix dieser quadratischen Form ist die an der Entwicklungsstelle a ausgewertete Hesse-Matrix.

Klassifikation kritischer Punkte

Mit der Hesse-Matrix lässt sich der Charakter eines zuvor bestimmten kritischen Punktes einer reellen Funktion auf ℝⁿ untersuchen. Entscheidend ist die Definitheit der Matrix:

• Ist die Hesse-Matrix positiv definit, liegt ein lokales Minimum vor.
• Ist sie negativ definit, liegt ein lokales Maximum vor.
• Ist sie indefinit, liegt ein Sattelpunkt vor.

Ist die Matrix nur semidefinit, versagt dieses Kriterium. Der Charakter des kritischen Punktes muss dann auf anderem Weg bestimmt werden. Die Definitheit kann beispielsweise anhand der Vorzeichen der Eigenwerte oder der Hauptminoren untersucht werden.

Beispiel: Für f(x,y) = x² − y² ist (0,0) ein kritischer Punkt. Dort gilt H(f)(0,0) = ((2, 0), (0, −2)). Diese Matrix ist indefinit. Daher besitzt die Funktion dort kein Extremum, sondern einen Sattelpunkt, an dem sich zwei Höhenlinien schneiden.

Konvexität und Konkavität

Für eine zweimal stetig differenzierbare Funktion f auf einer offenen, konvexen Menge D gilt: f ist genau dann konvex, wenn ihre Hesse-Matrix überall in D positiv semidefinit ist. Ist sie überall positiv definit, ist f strikt konvex.

Entsprechend ist f auf ihrer konvexen Definitionsmenge D genau dann konkav, wenn die Hesse-Matrix überall negativ semidefinit ist. Bei negativer Definitheit ist f strikt konkav.

Eine strikt konvexe Funktion besitzt auf ihrer Definitionsmenge höchstens ein globales Minimum. Jedes lokale Minimum ist dann zugleich das einzige globale Minimum. Für strikt konkave Funktionen gilt entsprechend: Sie besitzen höchstens ein globales Maximum, und jedes lokale Maximum ist zugleich das einzige globale Maximum.

Laplace-Operator

Für eine zweimal stetig differenzierbare Funktion f: D → ℝ mit D ⊆ ℝⁿ ist der Laplace-Operator gleich der Spur ihrer Hesse-Matrix: Δf = Spur(H_f).

Die Spur ist die Summe der Diagonaleinträge der Matrix. Deshalb ist der Laplace-Operator unabhängig von der Wahl der Koordinaten.