Inversion (Geometrie)

Definition und Grundidee

Eine Inversion ist eine Kreisspiegelung in der Ebene oder eine Kugelspiegelung im Raum. Sie wird durch einen Kreis beziehungsweise eine Kugel mit Mittelpunkt M und Radius R festgelegt. Für jeden Punkt P ≠ M liegt der Bildpunkt P′ auf der Halbgeraden [MP und erfüllt

|MP′| · |MP| = R².

P und P′ liegen somit in derselben Richtung von M aus; ihr Abstand vom Mittelpunkt wird umgekehrt. Punkte auf dem Inversionskreis oder der Inversionskugel bleiben fest. Punkte im Inneren werden mit Punkten außerhalb vertauscht. Der Mittelpunkt M selbst besitzt nach dieser Definition keinen Bildpunkt.

Liegt M im Koordinatenursprung, lauten die Abbildungen in der Ebene

(x,y) ↦ R²(x,y)/(x²+y²)

und im Raum

(x,y,z) ↦ R²(x,y,z)/(x²+y²+z²).

In ebenen Polarkoordinaten ist die Darstellung besonders einfach:

(r,φ) ↦ (R²/r,φ).

Für den Einheitskreis mit R = 1 gilt also (r,φ) ↦ (1/r,φ). In der komplexen Ebene wird diese Spiegelung durch z ↦ 1/overline(z) beschrieben.

Eine Inversion ist involutorisch: Zweimaliges Anwenden führt zum Ausgangspunkt zurück. Sie ist außerdem winkeltreu, also konform; insbesondere bleiben rechte Winkel erhalten. Sie ist jedoch nicht längentreu. Außerdem ist sie keine Kollineation, weil eine Gerade im Allgemeinen nicht wieder auf eine Gerade, sondern auf einen Kreis abgebildet wird. Inverse Bilder von Kegelschnitten und räumlichen Quadriken sind algebraische Kurven beziehungsweise Flächen von höchstens 4. Grad.

Bilder von Geraden, Kreisen, Ebenen und Kugeln

Für eine Kreisspiegelung gelten folgende Abbildungsregeln:

• Eine Gerade durch M wird auf sich selbst abgebildet. • Eine Gerade, die nicht durch M geht, wird zu einem Kreis durch M. • Ein Kreis durch M wird zu einer Geraden, die nicht durch M geht. • Ein Kreis, der M nicht enthält, wird wieder zu einem Kreis, der M nicht enthält.

Bei der Spiegelung am Einheitskreis wird eine Gerade ax+by+c=0 zur Kurve

aX+bY+c(X²+Y²)=0.

Für c=0 bleibt die ursprüngliche Gerade erhalten. Für c≠0 entsteht der Kreis

(X+a/(2c))²+(Y+b/(2c))²=(a²+b²)/(4c²),

der durch den Nullpunkt verläuft.

Der Kreis (x−x₀)²+(y−y₀)²=r² wird auf

(x²+y²)(x₀²+y₀²−r²)−2xx₀−2yy₀+1=0

abgebildet. Falls x₀²+y₀²=r² ist, geht der ursprüngliche Kreis durch den Nullpunkt und sein Bild ist die Gerade 2xx₀+2yy₀=1. Andernfalls entsteht wieder ein Kreis. Liegt sein Mittelpunkt im Nullpunkt, hat der Bildkreis den Radius 1/r.

Im Raum gelten entsprechende Regeln: Ebenen durch das Inversionszentrum werden auf sich abgebildet, andere Ebenen auf Kugeln durch das Zentrum. Kugeln durch das Zentrum werden zu Ebenen, die es nicht enthalten; andere Kugeln werden wieder zu Kugeln. Weil eine Gerade als Schnitt zweier Ebenen und ein Kreis als Schnitt einer Ebene mit einer Kugel betrachtet werden kann, ist das Bild einer räumlichen Geraden oder eines Kreises jeweils eine Gerade oder ein Kreis.

Inversion ebener Kurven

Für die Spiegelung am Einheitskreis gilt in beiden Richtungen

(x,y) ↦ (X,Y)=(x,y)/(x²+y²).

Ist eine Kurve parametrisch durch u ↦ (x(u),y(u)) gegeben, erhält man ihre Bildkurve durch

u ↦ (x(u),y(u))/(x(u)²+y(u)²).

Bei einer impliziten Gleichung f(x,y)=0 setzt man stattdessen x=X/(X²+Y²) und y=Y/(X²+Y²) ein.

Typische Beispiele zeigen, dass dabei Kurven höheren Grades entstehen:

• Die Parabel y=x² wird auf die Zissoide x²−y(x²+y²)=0 abgebildet. • Die Parabel y=x²−1/4 wird zur Kardioide (x²+y²+2y)²=4(x²+y²). Allgemein ergibt die Inversion einer Parabel nur dann eine Kardioide, wenn das Inversionszentrum im Brennpunkt liegt. Die Tangenten der Parabel werden zu Kreisen durch den Nullpunkt; deren Einhüllende, also die von ihnen berührte Begrenzungskurve, ist die Bildkurve. • Die Hyperbel x²−y²=1 wird zur Lemniskate (x²+y²)²−(x²−y²)=0. • Die Hyperbel (x−1)²−y²=1 wird zum kartesischen Blatt x²−2x(x²+y²)−y²=0.

Auf der Riemannschen Zahlenkugel kann die Spiegelung am Einheitskreis als gewöhnliche Spiegelung an der Äquatorebene dargestellt werden, wenn die reelle Ebene als Äquatorebene und der Einheitskreis als Äquatorkreis aufgefasst werden. Kreise durch den Punkt N=∞ entsprechen dabei Geraden im ebenen Modell.

Flächen und stereografische Projektion

Inversionen erzeugen Flächen mit vorhersehbaren Kreisstrukturen. Insbesondere werden Kreise und Kugeln, die nicht durch das Inversionszentrum gehen, wieder auf Kreise beziehungsweise Kugeln abgebildet. Die inversen Flächen senkrechter Kreiszylinder, senkrechter Kreiskegel und von Rotationstori sind dupinsche Zykliden.

Bei einer Kugel mit Längen- und Breitenkreisen ist das Bild wieder eine Kugel. Die beiden Kreisscharen werden erneut zu orthogonal, also rechtwinklig, schneidenden Kreisen. Die Bilder von Nord- und Südpol liegen im Allgemeinen jedoch nicht mehr auf einem Kugeldurchmesser. Auf einem Rotationsellipsoid werden horizontale Kreise wieder zu Kreisen, während senkrechte Ellipsen in entsprechend veränderte Kurven übergehen. Bei einem einschaligen Rotationshyperboloid werden die Kreise zu einer die Bildfläche überdeckenden Kreisschar. Jede geradlinige Erzeugende wird zu einem Kreis durch den Ursprung; orthogonal zu den Kreisen verlaufende Hyperbeln werden zu lemniskatenähnlichen Kurven durch den Ursprung.

Auch die stereografische Projektion lässt sich als Inversion verstehen. Dabei werden die Punkte einer Kugel von einem Kugelpunkt N aus auf die Tangentialebene im gegenüberliegenden Punkt S projiziert. Für die Kugel

x²+y²+(z+1/2)²=1/4

mit Mittelpunkt (0,0,−0,5) und Radius 0,5 bildet die Inversion an der Einheitskugel sie auf die Tangentialebene im Punkt S=(0,0,−1) ab. Die Geraden durch N bleiben erhalten und dienen als Projektionsstrahlen. Längenkreise werden zu Geraden der Tangentialebene durch S, Breitenkreise zu konzentrischen Kreisen mit Mittelpunkt S. Ein Quadratnetz der Ebene wird umgekehrt zu zwei Kreisscharen durch den Nordpol. Wegen der Winkeltreue berühren sich dort entsprechende Kreise oder schneiden sich senkrecht.

Verallgemeinerung und Winkeltreue

Die Inversion lässt sich auf den n-dimensionalen euklidischen Raum übertragen. Bezüglich einer Hyperkugel mit Radius R und Mittelpunkt im Ursprung lautet sie

x⃗ ↦ R²x⃗/|x⃗|².

Dabei werden Hyperebenen, also die n-dimensionalen Gegenstücke zu Geraden und Ebenen, und Hyperkugeln wieder in Hyperebenen oder Hyperkugeln überführt.

Die Winkeltreue lässt sich über Tangentenvektoren zeigen. Ist c⃗(s) eine reguläre Kurve und γ⃗(s)=c⃗(s)/c⃗²(s) ihre Inverse an der Einheitshyperkugel, dann gilt

γ⃗′=[c⃗′c⃗²−2c⃗(c⃗·c⃗′)]/(c⃗²)².

Für eine zweite Kurve d⃗(t) und ihre Inverse δ⃗(t) gilt die entsprechende Formel. Sind beide Ausgangskurven nach der Bogenlänge parametrisiert, schneiden sie sich in c⃗(0)=d⃗(0), und sind |c⃗′|=|d⃗′|=1, so ergibt die Rechnung für den Schnittwinkel α der inversen Kurven

cos α=(γ⃗′/|γ⃗′|)·(δ⃗′/|δ⃗′|)=c⃗′·d⃗′.

Dieser Ausdruck ist zugleich der Kosinus des Schnittwinkels der ursprünglichen Kurven. Daher ist der Schnittwinkel vor und nach der Inversion identisch.