Kreissektor

Definition und Größen

Ein Kreissektor, auch Kreisausschnitt genannt, ist der Teil einer Kreisfläche, der von einem Kreisbogen und zwei Kreisradien begrenzt wird. Seine Form ähnelt einem von oben betrachteten Tortenstück.

Der Kreissektor ist durch zwei Größen eindeutig bestimmt: den Radius r und den Mittelpunktswinkel θ. Der Mittelpunktswinkel liegt zwischen den beiden begrenzenden Radien und steht dem Kreisbogen gegenüber. Er kann im Gradmaß oder im Bogenmaß angegeben werden. Für die Umrechnung gilt 360° = 2π.

Der Umfang des Kreissektors besteht aus der Länge des Kreisbogens und den beiden Radien. Im Gradmaß lautet seine Formel U = 2πr · θ/360° + 2r. Wird θ im Bogenmaß angegeben, gilt U = rθ + 2r.

Bogenlänge

Die Bogenlänge L_θ ist der Anteil der gesamten Kreislinie, der zum Mittelpunktswinkel θ gehört. Sie ist proportional zu diesem Winkel. Deshalb gilt im Gradmaß die Verhältnisgleichung L_θ : L = θ : 360°, wobei die gesamte Kreislinie eines Kreises mit Radius r die Länge L = 2πr besitzt.

Durch Einsetzen und Umstellen ergibt sich für einen Winkel im Gradmaß:

L_θ = 2πr · θ/360°.

Bei einem Winkel im Bogenmaß wird 360° durch 2π ersetzt. Dadurch vereinfacht sich die Formel zu:

L_θ = rθ.

Die Formel L_θ = rθ darf daher nur unmittelbar verwendet werden, wenn θ im Bogenmaß angegeben ist.

Flächeninhalt

Der Flächeninhalt A_θ eines Kreissektors ist ebenfalls proportional zum Mittelpunktswinkel θ. Für die gesamte Kreisfläche gilt A = πr². Im Gradmaß erhält man aus der Verhältnisgleichung A_θ : A = θ : 360° die Formel:

A_θ = πr² · θ/360°.

Wird der Winkel im Bogenmaß gemessen, folgt mit 360° = 2π:

A_θ = 1/2 · r²θ.

Der Flächeninhalt im Bogenmaß kann außerdem durch Integration in Polarkoordinaten hergeleitet werden. Dabei wird über alle Winkel von 0 bis θ und über alle Abstände vom Mittelpunkt von 0 bis r integriert:

A_θ = ∫₀^θ ∫₀^r r̃ dr̃ dθ̃ = ∫₀^θ 1/2 · r² dθ̃ = r²θ/2.

Diese Herleitung führt somit zur gleichen Formel A_θ = 1/2 · r²θ, ohne die Formel für die gesamte Kreisfläche vorauszusetzen.