Harmonischer Oszillator

Grundidee und Grundgleichung

Ein harmonischer Oszillator ist ein schwingungsfähiges System mit einer linearen Rückstellgröße: Je weiter es aus seiner Ruhelage ausgelenkt wird, desto stärker wirkt eine proportionale Größe zurück. Nach einem Anstoß schwingt es sinusförmig um die Ruhelage; seine Schwingungsdauer ist unabhängig von der Auslenkung. Beispiele sind Federpendel, elektrische Schwingkreise und Stimmgabeln.

Der Oszillator ist ein wichtiges physikalisches Modell, weil er durch Eigenfrequenz und Dämpfung beschrieben wird und viele kompliziertere Systeme bei kleinen Auslenkungen annähert. Für einen freien klassischen Oszillator gilt

x¨ + ω₀²x = 0.

Dabei ist x(t) die Auslenkung und ω₀ die Eigenkreisfrequenz. Dies ist eine gewöhnliche lineare homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung; ihre Lösung ist sinusförmig. Auch gedämpfte Systeme werden oft harmonische Oszillatoren genannt, obwohl ihre Schwingung streng genommen nicht harmonisch ist.

Potential, Ruhelage und harmonische Näherung

Der ungedämpfte Oszillator ist konservativ: Seine Energie bleibt erhalten. Sein eindimensionales harmonisches Potential ist eine Parabel,

V(x) = 1/2 kx², mit k > 0,

und die Kraft ist die negative Ableitung des Potentials:

F = −dV/dx = −kx.

Das Potentialminimum ist ein stabiler Fixpunkt beziehungsweise die Ruhelage. Dort wirkt keine Kraft; außerhalb wirkt die Rückstell- oder Rückholkraft zur Ruhelage.

Ideale lineare Rückstellkräfte für beliebig große Auslenkungen gibt es in der Natur nicht. Bei kleinen Auslenkungen um ein lokales Potentialminimum ist die harmonische Näherung jedoch oft brauchbar. Eine Taylorentwicklung um x₀ liefert

V(x) = V(x₀) + ∂V/∂x(x₀)(x−x₀) + 1/2 ∂²V/∂x²(x₀)(x−x₀)² + R(x−x₀).

Das Restglied R enthält Terme ab dritter Ordnung und ist für kleine Abstände vernachlässigbar. Am Minimum ist ∂V/∂x(x₀) = 0; mit x₀ = 0 und V(x₀) = 0 folgt näherungsweise V(x) = 1/2 kx² mit k = ∂²V/∂x²(x₀). Beim Lennard-Jones-(12,6)-Potential ist diese Näherung nur nahe dem Minimum brauchbar. Fadenpendel und transversal schwingende Saiten werden schon bei mittleren Amplituden anharmonisch. Störungstheorie ergänzt bei einem zunächst analytisch lösbaren Modell später vernachlässigte Einflüsse.

Ungedämpfte Bewegung und Energie

Beim Federpendel gilt nach dem Hookeschen Gesetz F = −kx und nach Newton F = mx¨. Daher ist ω₀² = k/m und

x(t) = u sin(ω₀t + φ).

Die Amplitude u ist die maximale Auslenkung und bestimmt die Energie; der Phasenverschiebungswinkel φ wird durch die Anfangsbedingungen bestimmt. Die Frequenz lautet f = ω₀/(2π) und ist unabhängig von der Amplitude.

Beim Loslassen wandelt sich die potentielle Energie der gespannten Feder in kinetische Energie um. In der Ruhelage ist die Geschwindigkeit maximal und die potentielle Energie null. An den Umkehrpunkten ist die Geschwindigkeit null und die Energie vollständig potentiell. Die Gesamtenergie bleibt konstant:

Egesamt = Êkin = 1/2 m v̂² = 1/2 mω²x̂² = Êpot = 1/2 kx̂².

Dabei ist x̂ die Amplitude. Beim Torsionsoszillator wird statt einer Schraubenfeder eine Torsionsfeder oder ein Torsionsfaden verwendet; die Bewegung ist rotatorisch. In den Rechnungen ersetzen Trägheitsmoment I die Masse m und Winkelgeschwindigkeit ω = φ˙ die Geschwindigkeit v = x˙.

In der Hamilton-Dynamik lautet die Energiefunktion H = p²/(2m) + mω₀²q²/2. Die kanonischen Gleichungen führen wieder zu q¨ + ω₀²q = 0. Bei konstanter Energie ist die Bahn im Phasenraum (q,p) eine Ellipse; ihre Fläche ist A = 2πE/ω₀. Bei Dämpfung wird daraus eine zum Ursprung laufende Spirale.

Dämpfung und Anregung

Reibung führt Energie ab, die Amplitude nimmt ab und das System ist dissipativ statt konservativ. Bei linearer Dämpfung gilt F_R = −2mγx˙, wobei γ ≥ 0 die Abklingkonstante ist. Die Bewegungsgleichung lautet

x¨(t) + 2γx˙(t) + ω₀²x(t) = 0.

Bei schwacher Dämpfung γ < ω₀ schwingt das System weiter sinusförmig, aber mit exponentiell sinkender Amplitude. Nach τ = 1/γ beträgt sie noch 1/e des Ausgangswerts; die gedämpfte Kreisfrequenz ist ω_d = √(ω₀²−γ²). Bei starker Dämpfung γ > ω₀ (Kriechfall) entsteht keine echte Schwingung. Im aperiodischen Grenzfall γ = ω₀ kehrt das System schneller als im Kriechfall zur Ruhelage zurück; ein Nulldurchgang hängt von den Anfangsbedingungen ab.

Anregung bedeutet Energiezufuhr. Bei einer erzwungenen Schwingung wirkt eine unabhängige, meist periodische äußere Kraft oder Spannung:

x¨(t) + 2γx˙(t) + ω₀²x(t) = F_ext(t)/m.

Bei selbsterregten Schwingungen steuern Schwingung und Steuerelement die Energiezufuhr selbst; negative Dämpfung kann dies modellieren. Ein Beispiel ist der Van-der-Pol-Oszillator. Bei parametererregten Schwingungen ändert sich zeitlich ein Parameter wie die Pendellänge und damit ω₀; ein Beispiel ist eine Schaukel bei kleinen Auslenkungen.

Mehrdimensionale, gekoppelte und weitere Oszillatoren

In n Dimensionen kann das Potential bei geeigneten Koordinaten geschrieben werden als V(x₁,…,xₙ) = 1/2 Σᵢ₌₁ⁿ kᵢxᵢ². Ohne Mischterme sind die Richtungen unabhängig; diese Separabilität bedeutet auch, dass die Energie jeder Richtung erhalten ist. Bei einem isotropen Oszillator gilt kᵢ = c > 0 für alle i, alle Richtungen haben dieselbe Frequenz. Beim anisotropen Oszillator haben die Normalschwingungen koordinatenabhängige Frequenzen. Im Zweidimensionalen entstehen Lissajous-Kurven: Bei rationalem Frequenzverhältnis ist die Bewegung periodisch, sonst aperiodisch. Isotrop sind Kreis, feste Gerade oder Ellipse möglich.

Bei gekoppelten Oszillatoren wechselwirken die Komponenten; Energie kann zwischen ihnen übertragen werden, was Amplitudenmodulation erzeugt. Beispiele sind über eine Feder gekoppelte Pendel, Schwingerketten und das Wilberforce-Pendel. Gitterschwingungen in Kristallen lassen sich ebenfalls so modellieren; die quantenmechanische Beschreibung führt zu Phononen. Im Kontinuumsübergang einer Schwingerkette werden unendlich viele gekoppelte Oszillatoren zu einer Saite oder Welle. Daraus folgt die Wellengleichung

(1/c² ∂²/∂t² − ∂²/∂x²)Ψ = 0.

Ein elektrischer Schwingkreis tauscht elektrische Energie eines Kondensators C und magnetische Energie einer Spule L aus. Für die Stromstärke gilt i¨(t) + 1/(LC)i(t) = 0; seine ungedämpfte Eigenfrequenz ist f₀ = 1/(2π)√(1/(LC)). In der Quantenmechanik ist der Oszillator ein Standardmodell mit Hamiltonoperator Ĥ = p̂²/(2m) + mω²x̂²/2; Wellenfunktionen sind Eigenfunktionen dieses Operators, Energieniveaus seine Eigenwerte. Der Lorentz-Oszillator beschreibt in der Optik Atome eines Festkörpers unter elektromagnetischen Wellen und erklärt im Drudemodell unter anderem Doppelbrechung und den komplexen Brechungsindex.