Zeigermodell

Kernidee des Zeigermodells

Das Zeigermodell stellt periodische Vorgänge als Drehung eines Zeigers dar. Es wird besonders für Schwingungen, Wechselstrom, Wellenoptik und Quantenmechanik verwendet. Ein Zeiger der Länge ŷ dreht sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω um den Koordinatenursprung. Sein Winkel zur x-Achse heißt φ(t).

Die Projektion des Zeigers auf eine Achse beschreibt die beobachtbare Momentanauslenkung einer harmonischen Schwingung. Für die Projektion auf die y-Achse gilt:

y(t) = ŷ · sin(φ(t)) = ŷ · sin(ωt + φ₀).

Dabei ist ŷ die Amplitude, also der größte Ausschlag der Schwingung, y(t) die Momentanauslenkung und φ₀ der Startwinkel beziehungsweise Nullphasenwinkel. Der Momentanwinkel φ(t) ist der Phasenwinkel.

Die Kreisfrequenz ist ω = 2πf und wird in rad/s angegeben. Die Frequenz f = 1/T hat die Einheit 1/s; sie gibt die Anzahl der Schwingungen pro Sekunde an. T in Sekunden ist die Periodendauer, also die Zeit für einen vollständigen Umlauf. Im Modell entspricht die Zeigerlänge der Amplitude, die Drehzahl der Frequenz und die Umlaufdauer der Periodendauer.

Darstellung mit komplexen Zahlen

In der komplexen Zahlenebene wird der Zeiger z̲ als komplexe Zahl dargestellt:

z̲ = x + i y.

x ist der Realteil Re z̲, y der Imaginärteil Im z̲. Mit der Eulerschen Formel kann der rotierende Zeiger geschrieben werden als:

z̲(t) = ẑ · e^(i(ωt + φ₀)) = ẑ̲ · e^(iωt).

Die Größe ẑ̲ = ẑ · e^(iφ₀) heißt manchmal Phasor oder komplexe Amplitude. Nimmt man den Imaginärteil von z̲(t), erhält man eine Sinusschwingung wie y(t). Nimmt man stattdessen den Realteil, erhält man eine Kosinusschwingung. Beide Darstellungen sind gleichwertig, weil Sinus und Kosinus sich nur um den konstanten Phasenverschiebungswinkel π/2 unterscheiden. Innerhalb einer Rechnung muss jedoch konsequent nur eine der beiden Darstellungen verwendet werden.

Wechselstrom und Impedanz

Sinusförmige Wechselspannung und Wechselstromstärke können als gemeinsam rotierende Zeiger dargestellt werden:

u̲(t) = û · e^(j(ωt + φu))

i̲(t) = î · e^(j(ωt + φi)).

Der Phasenverschiebungswinkel zwischen ihnen bleibt konstant und lautet Δφ = φu − φi. Für Wechselgrößen wird analog zum Gleichstromgesetz R = U/I die elektrische Impedanz definiert:

Z̲ = u̲(t) / i̲(t).

Sie ist nicht zeitabhängig, weil sich der Faktor e^(jωt) herauskürzt. Im Allgemeinen ist sie komplex:

Z̲ = R + jX.

Der Realteil R ist der ohmsche Widerstand beziehungsweise Wirkwiderstand. Der Imaginärteil X heißt Blindwiderstand. Er besteht aus dem induktiven Blindwiderstand XL = ωL und dem kapazitiven Blindwiderstand XC = −1/(ωC). Der Betrag der Impedanz wird Scheinwiderstand genannt.

Die komplexe Zeigerdarstellung erlaubt es, die Impedanz wie einen Widerstand zu verwenden und auch die Kirchhoffschen Regeln in der Wechselstromlehre anzuwenden, ohne aufwendige trigonometrische Rechnungen. Die Zeigerlänge steht für den Absolutbetrag von Spannung oder Strom. Praktisch werden oft Effektivwerte U und I statt der Amplituden Û und Î benutzt.

Wellen, Interferenz und stehende Wellen

Eine eindimensionale Sinuswelle wird beschrieben durch:

s(x,t) = ŝ · sin(ωt − kx),

wobei k = 2π/λ die Kreiswellenzahl und λ die Wellenlänge ist. Anders als bei einer reinen zeitlichen Schwingung hängt der Zeigerwinkel sowohl von der Zeit als auch vom Ort ab. Mit wachsender Entfernung x wird vom Winkel ωt der Term kx abgezogen.

Treffen Wellen an einem Ort zusammen, werden ihre Zeiger vektoriell addiert. Die Projektion des resultierenden Zeigers liefert die Momentanauslenkung; seine Länge gibt die Amplitude der resultierenden Welle an. Neben den Einzelamplituden ist der Phasenunterschied Δφ entscheidend. Bei gleicher Frequenz bleibt er konstant.

Bei Δφ = 0, 2π, 4π, … liegt konstruktive Interferenz vor: Die Amplituden addieren sich. Bei Δφ = π, 3π, 5π, … liegt destruktive Interferenz vor: Die Amplituden werden subtrahiert; bei gleichen Amplituden löschen sich die Wellen aus. Bei mehr als zwei Wellen werden alle Zeiger vektoriell addiert.

Zwei gegenläufige Wellen gleicher Frequenz und gleicher Amplitude bilden eine stehende Welle. An Orten mit Phasenunterschied 0 oder 2π sind die Wellen in Phase; dort liegen Schwingungsbäuche mit maximaler Auslenkung. Bei einem Phasenunterschied von ±π ist die Auslenkung stets null; diese festen Stellen heißen Schwingungsknoten. Da Bäuche und Knoten ortsfest bleiben, scheint sich die Welle nicht auszubreiten. Der Maximalausschlag an einem Bauch ist die Summe der beiden Amplituden.

Beugung, Grenzen und Quantenmechanik

Bei mehrdimensionalen Beugungsproblemen, etwa am Einfachspalt, Doppelspalt oder optischen Gitter, können Wellen bis zu einem Treffpunkt unterschiedliche Wege zurücklegen. Der Gangunterschied δ führt zu einem Phasenunterschied Δφ = kδ. Das Beugungsmuster ergibt sich durch Vektoraddition der Zeiger aller beteiligten Wellen unter Berücksichtigung dieser Phasenunterschiede.

Das Zeigermodell erklärt Phasenunterschiede und ihre Folgen für Interferenz gut. Es reicht jedoch nicht aus, um Amplituden zu berechnen, weil es weder Dämpfung noch die räumliche Verteilung einer Welle berücksichtigt. Diese Einschränkung haben laut Artikel auch alternative Konzepte wie die Elementarwellen nach Huygens und Fresnel.

Auch die Wellenfunktion der Quantenmechanik kann als Zeiger dargestellt werden. Feynman bezeichnet dessen komplexe Länge als Wahrscheinlichkeitsamplitude. Ihr Betragsquadrat ist nach den Regeln der Quantenmechanik ein Maß für die Wahrscheinlichkeitsdichte, beispielsweise für das Auffinden eines Teilchens. Für ein Quantenobjekt müssen die Wahrscheinlichkeitsamplituden aller möglichen Wege vektoriell addiert werden. Dadurch tritt ebenfalls Interferenz auf; zugleich entsteht eine anschauliche Interpretation der Methode der Pfadintegrale.