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Kreis- und Hyperbelfunktionen
Die Definitionen von Kreis- und Hyperbelfunktionen über die Exponentialfunktion erlauben es, das Funktionsverhalten auf eine bekannte Funktion zurückzuführen.
Inhalt5 Abschnitte
Grundidee und Definitionen
Kreisfunktionen wie Sinus und Kosinus sowie Hyperbelfunktionen wie Sinus hyperbolicus (sinh), Kosinus hyperbolicus (cosh), Tangens hyperbolicus und Kotangens hyperbolicus sind für alle reellen und komplexen Zahlen definiert. Im Mittelpunkt stehen hier Sinus, Kosinus, sinh und cosh; Tangens, Kotangens, Sekans und Kosekans sowie ihre hyperbolischen Entsprechungen werden ähnlich gebildet.
Kreis- und Hyperbelfunktionen besitzen eng verwandte Definitionen und Eigenschaften. Häufig besteht der Unterschied darin, dass die Variable einer Kreisfunktion durch das Produkt mit der imaginären Einheit i ersetzt wird oder dass sich Vorzeichen ändern. Beide Funktionsgruppen lassen sich insbesondere mithilfe der Exponentialfunktion und mithilfe von Taylorreihen definieren.
Darstellung durch Exponentialfunktionen
Die Darstellung durch Exponentialfunktionen führt das Verhalten der Kreis- und Hyperbelfunktionen auf die bekannte Exponentialfunktion zurück:
sin(z) = (e^(iz) − e^(−iz))/(2i) sinh(z) = (e^z − e^(−z))/2 cos(z) = (e^(iz) + e^(−iz))/2 cosh(z) = (e^z + e^(−z))/2
Die Formeln für Sinus und Kosinus folgen aus der Eulerschen Formel e^(iφ) = cos φ + i sin φ und der zugehörigen Gleichung e^(−iφ) = cos φ − i sin φ. Dabei wird verwendet, dass der Kosinus gerade ist, also cos(−φ) = cos(φ), während der Sinus ungerade ist, also sin(−φ) = −sin(φ). Subtrahiert man die zweite Exponentialgleichung von der ersten, erhält man nach dem Auflösen die Sinusformel. Durch Addition ergibt sich entsprechend die Kosinusformel.
Taylorreihen
Eine Taylorreihe stellt eine Funktion als unendliche Potenzreihe dar. Beim Entwicklungspunkt z = 0 unterscheiden sich Kreis- und Hyperbelfunktionen jeweils nur durch die Vorzeichen: Bei den Hyperbelfunktionen werden alle Reihenglieder addiert, bei den Kreisfunktionen wechseln sich positive und negative Glieder ab.
sin(z) = z − z³/3! + z⁵/5! − z⁷/7! + … = Σ von n=0 bis ∞ [(-1)ⁿ z^(2n+1)/(2n+1)!]
sinh(z) = z + z³/3! + z⁵/5! + z⁷/7! + … = Σ von n=0 bis ∞ [z^(2n+1)/(2n+1)!]
cos(z) = 1 − z²/2! + z⁴/4! − z⁶/6! + … = Σ von n=0 bis ∞ [(-1)ⁿ z^(2n)/(2n)!]
cosh(z) = 1 + z²/2! + z⁴/4! + z⁶/6! + … = Σ von n=0 bis ∞ [z^(2n)/(2n)!]
Dabei bezeichnet n! die Fakultät, also das Produkt der ersten n natürlichen Zahlen: n! = 1 · 2 · … · n; insbesondere gilt 0! = 1.
Geometrische Bedeutung und Umwandlung
Die Bezeichnungen Kreis- und Hyperbelfunktionen beziehen sich auf die Kurven, die durch die Funktionen beschrieben werden. Für die Kreisfunktionen gilt
sin²(u) + cos²(u) = 1, mit y = sin(u) und x = cos(u).
Daraus folgt die Kreisgleichung y = ±√(1 − x²), also x² + y² = 1. Für die Hyperbelfunktionen gilt entsprechend
cosh²(u) − sinh²(u) = 1, mit y = sinh(u) und x = cosh(u).
Daraus folgt die Hyperbelgleichung y = ±√(x² − 1), also x² − y² = 1.
Die Größe u bezeichnet die eingeschlossene Fläche zwischen der x-Achse, dem betrachteten Graphen und der Verbindungsgeraden vom Ursprung zu einem Punkt des Graphen. Beim Kreis ist u zugleich die Hälfte des zugehörigen Winkels im Bogenmaß. Ein Viertelkreis hat beispielsweise die Fläche u = π/4 und entspricht dem Winkel π/2. Deshalb heißen die Umkehrfunktionen der Kreisfunktionen Arkussinus und Arkuskosinus: Sie liefern einen Bogen beziehungsweise Winkel. Bei den Hyperbelfunktionen beruht u nur auf der Flächendefinition; ihre Umkehrfunktionen heißen daher Areasinus hyperbolicus und Areakosinus hyperbolicus.
Für alle z ∈ ℂ lassen sich Kreis- und Hyperbelfunktionen über die imaginäre Einheit i ineinander umwandeln:
sin(iz) = i sinh(z), sinh(iz) = i sin(z), cos(iz) = cosh(z), cosh(iz) = cos(z).
Umgekehrt gilt:
sin(z) = −i sinh(iz), sinh(z) = −i sin(iz), cos(z) = cosh(iz), cosh(z) = cos(iz).
Die Gudermannfunktion gd ermöglicht eine Umwandlung ohne den Umweg über komplexe Zahlen:
sinh(x) = tan(gd(x)), cosh(x) = sec(gd(x)), tanh(x) = sin(gd(x)), sech(x) = cos(gd(x)), csch(x) = cot(gd(x)), coth(x) = csc(gd(x)).
Ableitungen und Rechenregeln
Auch bei den Ableitungen zeigt sich die enge Verwandtschaft. Es gilt:
sin′(z) = cos(z), sinh′(z) = cosh(z), cos′(z) = −sin(z), cosh′(z) = sinh(z).
Das Minuszeichen tritt bei der Ableitung des Kosinus auf, nicht aber bei der Ableitung des Kosinus hyperbolicus.
Die Additionstheoreme geben Funktionswerte von Summen und Differenzen an:
sin(x ± y) = sin(x)cos(y) ± cos(x)sin(y) cos(x ± y) = cos(x)cos(y) ∓ sin(x)sin(y) tan(x ± y) = [tan(x) ± tan(y)]/[1 ∓ tan(x)tan(y)]
sinh(x ± y) = sinh(x)cosh(y) ± cosh(x)sinh(y) cosh(x ± y) = cosh(x)cosh(y) ± sinh(x)sinh(y) tanh(x ± y) = [tanh(x) ± tanh(y)]/[1 ± tanh(x)tanh(y)]
Summen und Differenzen können außerdem in Produkte umgeformt werden:
sin(x) + sin(y) = 2 sin((x+y)/2) cos((x−y)/2) sin(x) − sin(y) = 2 cos((x+y)/2) sin((x−y)/2) cos(x) + cos(y) = 2 cos((x+y)/2) cos((x−y)/2) cos(x) − cos(y) = −2 sin((x+y)/2) sin((x−y)/2)
sinh(x) + sinh(y) = 2 sinh((x+y)/2) cosh((x−y)/2) sinh(x) − sinh(y) = 2 cosh((x+y)/2) sinh((x−y)/2) cosh(x) + cosh(y) = 2 cosh((x+y)/2) cosh((x−y)/2) cosh(x) − cosh(y) = 2 sinh((x+y)/2) sinh((x−y)/2)
Für Produkte gelten entsprechende Produkt-Summen-Formeln:
sin(x)sin(y) = ½[cos(x−y) − cos(x+y)] cos(x)cos(y) = ½[cos(x−y) + cos(x+y)] sin(x)cos(y) = ½[sin(x−y) + sin(x+y)]
sinh(x)sinh(y) = ½[cosh(x+y) − cosh(x−y)] cosh(x)cosh(y) = ½[cosh(x+y) + cosh(x−y)] sinh(x)cosh(y) = ½[sinh(x+y) + sinh(x−y)].
