Tangens hyperbolicus und Kotangens hyperbolicus

Grundidee und Definition

Tangens hyperbolicus und Kotangens hyperbolicus sind Hyperbelfunktionen. Ihre üblichen Schreibweisen sind y=\tanh x und y=\coth x. Sie werden aus Sinus hyperbolicus \sinh x und Kosinus hyperbolicus \cosh x gebildet:

\tanh x=\frac{\sinh x}{\cosh x}=\frac{\mathrm e^x-\mathrm e^{-x}}{\mathrm e^x+\mathrm e^{-x}}=\frac{\mathrm e^{2x}-1}{\mathrm e^{2x}+1}=1-\frac{2}{\mathrm e^{2x}+1}.

\coth x=\frac{\cosh x}{\sinh x}=\frac{\mathrm e^x+\mathrm e^{-x}}{\mathrm e^x-\mathrm e^{-x}}=\frac{\mathrm e^{2x}+1}{\mathrm e^{2x}-1}=1+\frac{2}{\mathrm e^{2x}-1}.

Verlauf und Umkehrfunktionen

\tanh ist auf ganz \mathbb R definiert, streng monoton steigend und nimmt genau Werte zwischen -1 und 1 an. Die Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung, hat die Nullstelle und den Wendepunkt (0,0), keine Extrema und keine Periodizität. Für x\to+\infty nähert sie sich +1, für x\to-\infty -1.

\coth ist für alle reellen x\ne0 definiert. Ihr Wertebereich ist ( -\infty,-1)\cup(1,+\infty). Sie ist auf beiden Definitionsintervallen streng monoton fallend, punktsymmetrisch zum Ursprung und hat bei x=0 eine Polstelle. Auch sie hat keine Periodizität, Nullstellen, Sprungstellen oder Extrema und nähert sich für große positive beziehungsweise negative x den Werten +1 beziehungsweise -1. Ihre zwei Fixpunkte \coth u=u liegen bei u_\pm=\pm1{,}19967864\dots.

Da \tanh:\mathbb R\to(-1,1) bijektiv ist, besitzt sie die Umkehrfunktion Areatangens hyperbolicus: \operatorname{artanh}x=\frac12\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right). Für die Umkehrung von \coth gilt \operatorname{arcoth}x=\frac12\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right).

Rechnen mit den Funktionen

Die wichtigsten Ableitungen sind \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\tanh x=1-\tanh^2x=\frac1{\cosh^2x}=\operatorname{sech}^2x und \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\coth x=1-\coth^2x=-\frac1{\sinh^2x}=-\operatorname{csch}^2x. Dabei gilt \operatorname{sech}(x)=\sqrt{1-\tanh^2(x)} sowie |\operatorname{csch}(x)|=\sqrt{\coth^2(x)-1}.

Für Summen gelten die Additionstheoreme \tanh(\alpha+\beta)=\frac{\tanh\alpha+\tanh\beta}{1+\tanh\alpha\,\tanh\beta} und \coth(\alpha+\beta)=\frac{1+\coth\alpha\,\coth\beta}{\coth\alpha+\coth\beta}.

Stammfunktionen sind \int\tanh x\,\mathrm dx=\ln(\cosh x)+C und \int\coth x\,\mathrm dx=\ln(|\sinh x|)+C; die zweite besitzt wegen x=0 eine Polstelle. Außerdem löst \tanh die Differentialgleichungen f'=1-f^2 und \frac12f''=f^3-f=f(f^2-1) mit f(0)=0 und f'(\infty)=0.

Reihen, Produkte und Berechnung

Eine Taylorreihe von \tanh x lautet \tanh x=x-\frac13x^3+\frac{2}{15}x^5-\frac{17}{315}x^7+\cdots; ihr Konvergenzradius ist \pi/2. Für die Langevin-Funktion \mathrm L_{\mathrm{LV}}(x)=\coth x-\frac1x gilt \mathrm L_{\mathrm{LV}}(x)=\frac13x-\frac1{45}x^3+\frac{2}{945}x^5-\frac1{4725}x^7+\cdots, mit Konvergenzradius \pi. Als Kettenbruch gilt \tanh x=\frac{x}{1+\cfrac{x^2}{3+\cfrac{x^2}{5+\ldots}}}.

Für numerische Berechnungen ist \tanh x=\frac{\mathrm e^{2x}-1}{\mathrm e^{2x}+1} grundsätzlich geeignet. Bei großen positiven Werten kann jedoch ein Überlauf auftreten, bei Werten nahe 0 numerische Auslöschung. Für x>k\cdot\frac{\ln10}{2} wird \tanh x=+1, für x<-k\cdot\frac{\ln10}{2} \tanh x=-1 gesetzt; k ist die Zahl signifikanter Dezimalziffern, bei double beispielsweise 16. Nahe 0, etwa für -0{,}1<x<0{,}1, kann \tanh x=\frac{\sinh x}{\mathrm e^x-\sinh x} verwendet werden, wobei \sinh x=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots.

Für komplexe Argumente gilt insbesondere \tanh(iy)=i\tan y und \coth(iy)=-i\cot y. Der Artikel nennt außerdem Lambert-Reihen und eine elliptische Produktreihe für \tanh. Der Abschnitt zur elliptischen Produktreihe ist ausdrücklich als nicht hinreichend belegt gekennzeichnet.

Anwendungen in der Physik

Bei Fall oder Wurf nach unten mit turbulenter Strömung (Newton-Reibung) gilt \dot v=-g+kv^2, mit k>0 und Grenzgeschwindigkeit v_{\mathrm g}=-\sqrt{g/k}<0. Ist die Anfangsgeschwindigkeit kleiner als die Grenzgeschwindigkeit, dann ist v(t)=v_{\mathrm g}\tanh(\sqrt{gk}\,t+c), c=\operatorname{artanh}\frac{v(0)}{v_{\mathrm g}}\ge0. Ist sie größer, gilt v(t)=v_{\mathrm g}\coth(\sqrt{gk}\,t+c), c=\operatorname{arcoth}\frac{v(0)}{v_{\mathrm g}}>0.

In der speziellen Relativitätstheorie verbindet v=c\tanh\theta Geschwindigkeit v und Rapidität \theta. Für ein quantenmechanisches Zwei-Zustands-System lautet die Differenz der Besetzungszahlen \delta n=n\tanh\frac{E}{2k_{\mathrm B}T}. Weitere im Artikel genannte Anwendungen sind die Brillouin-Funktion eines Paramagneten sowie die Kosmologie: H(t)=H_g\coth\frac{t}{t_{ch}}, t_{ch}=\frac{2}{3H_g}, und \Omega_\Lambda(t)=\tanh^2(t/t_{ch}).