Elektrodynamik

Gegenstand und Grundgesetze

Die klassische Elektrodynamik, auch Elektrizitätslehre genannt, untersucht bewegte elektrische Ladungen sowie elektrische und magnetische Felder, die sich mit der Zeit verändern. Die Elektrostatik ist der Spezialfall ruhender Ladungen und statischer elektrischer Felder. Grundlage dieser Vorgänge ist die elektromagnetische Wechselwirkung.

Das Zusammenspiel von Ladungen und Feldern wird durch die mikroskopischen Maxwell-Gleichungen und die Lorentzkraft beschrieben. Die Maxwell-Gleichungen lauten:

• div B = 0 • rot E + ∂B/∂t = 0 • div E = ρ/ε₀ • rot B − μ₀ ε₀ ∂E/∂t = μ₀ j

Dabei sind E das elektrische Feld, B das magnetische Feld, ρ die elektrische Ladungsdichte, j die Stromdichte, ε₀ die elektrische Feldkonstante und μ₀ die magnetische Feldkonstante. Die Gleichung div B = 0 bedeutet, dass magnetische Felder keine Quellen einzelner magnetischer Ladungen besitzen. Zeitliche Änderungen des magnetischen Flusses erzeugen ein elektrisches Wirbelfeld. Ein Strom I in einem Leiter erzeugt um den Leiter ein magnetisches Wirbelfeld B.

Auf eine bewegte Ladung q wirkt die Lorentzkraft:

F = q(E + v × B)

Sie setzt sich aus dem elektrischen Kraftanteil und dem magnetischen Kraftanteil zusammen; v ist die Geschwindigkeit der Ladung und × bezeichnet das Kreuzprodukt. Aus den mikroskopischen Maxwell-Gleichungen und den Materialgleichungen folgen makroskopische Maxwell-Gleichungen. Diese beschreiben die effektiven Felder, wie sie in Materie auftreten.

Wichtige Folgerungen sind die Kontinuitätsgleichung ∂ρ/∂t + div j = 0, die die Erhaltung der elektrischen Ladung ausdrückt, und der Satz von Poynting, nach dem die Energie von Teilchen und Feldern insgesamt erhalten bleibt.

Potentiale, Eichungen und Wellengleichungen

Die homogenen Maxwell-Gleichungen können mit elektromagnetischen Potentialen automatisch erfüllt werden. In einem sternförmigen Gebiet gilt:

B = rot A

und

E = −grad φ − ∂A/∂t.

φ heißt skalares Potential, A Vektorpotential. Die physikalischen Felder hängen nur von Ableitungen der Potentiale ab. Deshalb können die Potentiale verändert werden, ohne dass sich die beobachtbaren elektrischen und magnetischen Felder ändern. Eine solche Änderung heißt Eichtransformation. Für eine Funktion Λ gilt:

A′ = A + grad Λ

Damit auch das elektrische Feld gleich bleibt, muss sich das skalare Potential gleichzeitig nach

φ′ = φ − ∂Λ/∂t

transformieren.

Häufig verwendete Eichungen sind die Coulomb-Eichung beziehungsweise Strahlungseichung

div A = 0

und die Lorenz-Eichung

(1/c²) ∂φ/∂t + div A = 0.

Die Lorenz-Eichung ist relativistisch invariant: Ihre Form bleibt beim Wechsel zwischen Inertialsystemen erhalten. Die Coulomb-Eichung ist nicht relativistisch invariant, wird aber eher bei der kanonischen Quantisierung der Elektrodynamik verwendet.

Setzt man die Potentialdarstellungen und die Vakuum-Materialgleichungen in die inhomogenen Maxwell-Gleichungen ein und verwendet die Lorenz-Eichung, entkoppeln die Gleichungen. Die Potentiale erfüllen dann die inhomogenen Wellengleichungen:

□φ = −ρ/ε₀, □A = −μ₀j.

□ ist der D’Alembert-Operator. Die Wellengleichungen zeigen, wie Ladungsdichte und Stromdichte elektromagnetische Felder beziehungsweise elektromagnetische Wellen erzeugen.

Elektrostatik, Magnetostatik und elektromagnetische Wellen

Die Elektrostatik behandelt unbewegte elektrische Ladungen und zeitlich unveränderliche elektrische Felder. Sie kann näherungsweise auch angewendet werden, wenn Geschwindigkeiten und Beschleunigungen der Ladungen sowie die zeitlichen Feldänderungen klein sind. Die Abstrahlung elektromagnetischer Wellen wird dabei vernachlässigt; betrachtet wird im Wesentlichen das Nahfeld nahe der Quelle.

Die Magnetostatik beschreibt konstante Ströme in insgesamt ungeladenen Leitern und konstante Magnetfelder. Auch sie ist für hinreichend langsam veränderliche Ströme und Magnetfelder brauchbar.

Die Verbindung beider Näherungen ist eine Elektrodynamik nicht zu stark beschleunigter Ladungen. Viele Vorgänge in elektrischen Schaltkreisen, beispielsweise in Spulen, Kondensatoren und Transformatoren, lassen sich bereits damit beschreiben.

Ein stationäres elektrisches oder magnetisches Feld bleibt in der Nähe seiner Quelle, etwa das Erdmagnetfeld. Ein veränderliches elektromagnetisches Feld kann sich dagegen von seinem Ursprung entfernen. Dabei bilden elektrisches und magnetisches Feld gemeinsam eine elektromagnetische Welle. Elektromagnetische Wellen werden zwar von Quellen erzeugt, können nach ihrer Entstehung jedoch unabhängig von diesen weiterexistieren. Sichtbares Licht ist die bekannteste elektromagnetische Welle. Die Optik untersucht Licht, ihre physikalischen Grundlagen liefert aber die Elektrodynamik.

Elektrodynamik und spezielle Relativitätstheorie

Im Gegensatz zur klassischen Mechanik ist die Elektrodynamik nicht Galilei-invariant. Unter der Annahme eines absoluten euklidischen Raums und einer davon unabhängigen absoluten Zeit würden die Maxwell-Gleichungen daher nicht in jedem Inertialsystem dieselbe Form besitzen.

Ein geladenes Teilchen, das sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegt, erzeugt ein elektrisches und ein magnetisches Feld. Auf ein gleichnamig geladenes, gleich schnell bewegtes Teilchen wirkt einerseits die abstoßende elektrische Kraft, andererseits eine anziehende magnetische Lorentzkraft. Im Bezugssystem, in dem beide Teilchen ruhen, gibt es dagegen kein Magnetfeld und somit keine magnetische Kraft. Die unterschiedliche Beschreibung widerspricht der Newtonschen Vorstellung, dass die Beschleunigung unabhängig vom Bezugssystem ist.

Zunächst wurde deshalb ein bevorzugtes Bezugssystem, das Äthersystem, angenommen. Messungen der Erdgeschwindigkeit gegenüber dem Äther, unter anderem das Michelson-Morley-Experiment, blieben jedoch erfolglos. Die spezielle Relativitätstheorie Albert Einsteins ersetzte den absoluten Raum und die absolute Zeit durch eine vierdimensionale Raumzeit. An die Stelle der Galilei-Invarianz tritt die Lorentz-Invarianz, die von der Elektrodynamik erfüllt wird. Die Verringerung der Beschleunigung im bewegten System lässt sich mit Längenkontraktion und Zeitdilatation erklären. In diesem Sinn können magnetische Erscheinungen als Folge der Struktur von Raum und Zeit verstanden werden.

In einer manifest Lorentz-forminvarianten Darstellung bilden skalares Potential und Vektorpotential einen Vierervektor. Für eine Lorentz-Transformation mit Geschwindigkeit v in z-Richtung gelten im SI-System:

E′x = (Ex − vBy)/√(1 − v²/c²), B′x = (Bx + (v/c²)Ey)/√(1 − v²/c²)

E′y = (Ey + vBx)/√(1 − v²/c²), B′y = (By − (v/c²)Ex)/√(1 − v²/c²)

E′z = Ez, B′z = Bz.

In CGS-Einheiten werden diese Beziehungen nur unwesentlich verändert: B beziehungsweise B′ wird formal durch B/c beziehungsweise B′/c ersetzt.

Quantenelektrodynamik und weitere Vereinheitlichungen

Die klassische Elektrodynamik beschreibt bewegte Punktladungen nicht widerspruchsfrei. Auf kleinen Skalen treten unter anderem Probleme durch die Divergenz aufgrund von Strahlungsrückwirkung auf. Für diese Bereiche wird die Elektrodynamik quantenmechanisch als Quantenelektrodynamik (QED) formuliert. Die QED ist eine abelsche Eichfeldtheorie mit der Eichgruppe U(1); ihre Vorhersagen stimmen sehr genau mit Messergebnissen überein.

Die elektroschwache Wechselwirkung vereinigt die QED mit der schwachen Wechselwirkung und ist Teil des Standardmodells der Elementarteilchenphysik. Sie ist ebenfalls eine Eichfeldtheorie, besitzt aber die nichtabelsche Eichgruppe SU(2) × U(1). Die starke Wechselwirkung wird im Standardmodell durch die Quantenchromodynamik beschrieben, ebenfalls eine nichtabelsche Eichtheorie.

Darüber hinaus gab es Versuche, Elektrodynamik und Gravitation im Rahmen klassischer Feldtheorien zu vereinheitlichen. Diese Ansätze sind als Kaluza-Klein-Theorien bekannt und wurden später im Zusammenhang mit der Stringtheorie wieder aufgegriffen.