Allgemeine Relativitätstheorie

Grundidee und Geltungsbereich

Die allgemeine Relativitätstheorie (ART) beschreibt die Wechselwirkung von Materie einschließlich Feldern, Raum und Zeit. Sie deutet Gravitation nicht als Kraft im newtonschen Sinn, sondern als geometrische Eigenschaft einer gekrümmten vierdimensionalen Raumzeit. Albert Einstein entwickelte ihre Grundlagen und trug den Kern der Theorie am 25. November 1915 vor.

Energie und Impuls der Materie verändern die Geometrie der Raumzeit. Umgekehrt bestimmt diese Geometrie die Bewegung kräftefreier Körper: Sie folgen Geodäten, also den durch die Raumzeitgeometrie vorgegebenen Bahnen. Eine Weltlinie ist der Weg eines Objekts durch die vier Dimensionen der Raumzeit. Für einen kräftefrei fallenden Körper ist sie eine zeitartige Geodäte; zwischen zwei Ereignissen mit zeitartigem Abstand nimmt die verstrichene Eigenzeit dabei einen Extremwert an.

Die ART erweitert sowohl die spezielle Relativitätstheorie als auch das Newtonsche Gravitationsgesetz. Bei kleinen Raumzeitgebieten sowie kleinen Massendichten und Geschwindigkeiten geht sie in diese Theorien über. Sie ist vielfach experimentell bestätigt und die allgemein anerkannte Gravitationstheorie. Ihre Beziehung zur Quantenphysik ist jedoch ungeklärt; eine vereinheitlichte Quantengravitation gibt es noch nicht.

Prinzipien: Relativität, Äquivalenz und Krümmung

Das allgemeine Relativitätsprinzip verlangt, dass die Gesetze der Physik in allen geeigneten Koordinatensystemen dieselbe Form haben. Diese allgemeine Koordinaten-Kovarianz betrifft Gleichungen, nicht die Auswahl eines besonders bequemen Bezugssystems. Die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit gilt dabei lokal, also in kleinen Bereichen nahe der Weltlinie eines Beobachters. Deshalb widersprechen rechnerische Überlichtgeschwindigkeiten weit entfernter Sterne in einem rotierenden Koordinatensystem nicht der speziellen Relativitätstheorie.

Das schwache Äquivalenzprinzip besagt die Gleichheit von träger und schwerer Masse: Im Vakuum fallen ungeladene Körper unabhängig von Masse, Form oder Zusammensetzung gleich. Einstein verallgemeinerte dies zum starken Äquivalenzprinzip: In einem geschlossenen Labor ohne Kontakt zur Umgebung kann durch kein Experiment entschieden werden, ob man weit entfernt von Massen schwerelos ist oder nahe einer Masse frei fällt. Ein ruhender Beobachter auf der Erdoberfläche ist dagegen gegen den freien Fall beschleunigt und nimmt daher einen Lichtstrahl als gekrümmt wahr.

Das Prinzip gilt nur lokal. Gezeitenkräfte entstehen, weil Objekte näher am Gravizentrum stärker angezogen werden und Anziehungsrichtungen an verschiedenen Orten unterschiedlich sind. Ein ausgedehnter fallender Körper wird längs zur Fallrichtung auseinandergezogen und quer dazu zusammengedrückt.

Raumzeitkrümmung lässt sich durch Paralleltransport erläutern: Bei einer Verschiebung wird die Ausrichtung eines mitgeführten lokalen Koordinatensystems beibehalten. Im Gravitationsfeld entspricht ein Paralleltransport in Zeitrichtung einem freien Fall. Weil dessen Richtung vom Ort abhängt, liefern räumlicher und zeitlicher Paralleltransport in unterschiedlicher Reihenfolge verschiedene Endpunkte. Diese Nichtkommutativität wird infinitesimal durch den Krümmungstensor gemessen. Sie erklärt auch, warum benachbarte frei fallende Bahnen ihren Abstand ändern können. Die Raumzeit muss dazu nicht in eine fünfte Dimension eingebettet sein.

Das Machsche Prinzip, nach dem Trägheitskräfte von der Bewegung relativ zu den übrigen Massen des Universums abhängen sollen, beeinflusste Einstein. Sein Verhältnis zur ART bleibt umstritten, da es mehrere nicht gleichwertige Formulierungen gibt. Das Gödel-Universum von 1949 widerspricht manchen, aber nicht allen Formulierungen.

Mathematische Beschreibung und Feldgleichungen

Die Differentialgeometrie beschreibt die Raumzeit als Lorentz-Mannigfaltigkeit. Der metrische Tensor g_{μν}, kurz Metrik, bestimmt an jedem Punkt Abstände und Winkel. Der riemannsche Krümmungstensor beschreibt die Krümmung; ist er in einem Koordinatensystem an einem Punkt nicht null, kann er durch keinen Koordinatenwechsel dort zu null gemacht werden. Der Energie-Impuls-Tensor T_{μν} beschreibt die lokale Masse- beziehungsweise Energiedichte sowie Energie und Impuls der Materie.

Die Einsteinschen Feldgleichungen verknüpfen Materie und Raumzeitkrümmung:

R_{μν} − (R/2) g_{μν} + Λ g_{μν} = (8 π G/c⁴) T_{μν}.

Dabei sind R_{μν} der Ricci-Krümmungstensor, R der Ricci-Krümmungsskalar, Λ die kosmologische Konstante, c die Lichtgeschwindigkeit und G die Gravitationskonstante. Die Gleichungen sind Differentialgleichungen für die 10 unabhängigen Komponenten von g_{μν}; von 16 Gleichungen sind wegen der Symmetrie nur 10 unabhängig. Sie sind nichtlinear: Die Summe zweier Lösungen ist im Allgemeinen keine Lösung. Daher sind exakte Lösungen oft nicht möglich und Näherungen wichtig.

Die kosmologische Konstante kann auch als Anteil des Energie-Impuls-Tensors geschrieben werden: T_Λ^{μν} = (c⁴/(8 π G)) Λ g^{μν}. Sie entspricht dann einer idealen Flüssigkeit mit negativem Druck und wird in der Kosmologie als Dunkle Energie bezeichnet. Die Einstein-Hilbert-Wirkung liefert die Feldgleichungen durch das Prinzip der kleinsten Wirkung.

Wirkt auf einen Körper der Masse m eine nichtgravitative Kraft K^μ, gilt m ẍ^μ + m Γ^μ_{λν} ẋ^λ ẋ^ν = K^μ. Ohne solche Kraft folgt die Weltlinie der Geodätengleichung ẍ^μ + Γ^μ_{λν} ẋ^λ ẋ^ν = 0. Die Christoffelsymbole Γ^μ_{λν} beschreiben die Ortsabhängigkeit der Metrik. Auch Feldgleichungen wie die Maxwell-Gleichungen müssen in gekrümmter Raumzeit koordinatenkovariant mit kovarianten Ableitungen formuliert werden.

Wichtige Raumzeitmetriken

Eine Metrik ist ein Feld metrischer Tensoren und damit eine bestimmte Geometrie der Raumzeit, also eine Lösung der ART-Gleichungen. Die Minkowski-Metrik beschreibt die flache Raumzeit ohne große krümmende Massen.

Für Schwarze Löcher beschreibt die Schwarzschild-Metrik das Gravitationsfeld einer ungeladenen, nicht rotierenden, kugelsymmetrischen Masse. Karl Schwarzschild gab 1916 eine äußere Vakuumlösung und eine innere Lösung für eine homogene Kugel an. Die Kerr-Metrik beschreibt rotierende, ungeladene Schwarze Löcher; Roy Kerr fand sie 1963. Ihre Singularität bei r = 0 ist ringförmig. Die Reissner-Nordström-Metrik gilt für elektrisch geladene, statische Schwarze Löcher und enthält den Ladungsparameter Q. Die Kerr-Newman-Metrik verbindet Ladung und Rotation: Bei Q = 0 wird sie zur Kerr-Metrik, bei J = 0 zur Reissner-Nordström-Metrik, bei J = 0 und Q = 0 zur Schwarzschild-Metrik.

Die Gödel-Metrik beschreibt eine rotierende Raumzeit, in der klassische Weltlinien in die Vergangenheit verlaufen können. Die Kruskal-Lösung ist eine maximale Erweiterung der Schwarzschild-Lösung und kann als Beschreibung von Einstein-Rosen-Brücken beziehungsweise Wurmlöchern angesehen werden. Die Robertson-Walker- oder Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker-Metrik beschreibt ein homogenes Universum als kosmologische Näherung; ein Fast-FLRM-Modell berücksichtigt kleine Dichteschwankungen.

Der De-Sitter-Raum ist eine maximal symmetrische Vakuumlösung mit positiver kosmologischer Konstante. Für k = 0 und ohne Materie ergibt sich ein sich ausdehnender De-Sitter-Kosmos mit R(t) ~ e^{Ht} und H = c · √(Λ/3). Der Anti-De-Sitter-Raum besitzt dagegen eine negative kosmologische Konstante und negative Krümmung.

Beobachtbare Folgen und kosmische Anwendungen

Die ART stimmt im Rahmen der Messgenauigkeit mit den Beobachtungen überein. Das Äquivalenzprinzip ist bis zu 10^{−13}, andere ART-Phänomene bis zu 10^{−5} bestätigt.

Gravitative Zeitdilatation bedeutet: Uhren in einem Gravitationsfeld gehen aus Sicht eines weit entfernten Beobachters langsamer. Sie ist schon bei Höhenunterschieden von einigen Zentimetern mit sehr genauen optischen Atomuhren messbar. Die daraus folgende gravitative Rotverschiebung senkt die gemessene Frequenz von Licht, das sich vom Gravitationszentrum weg bewegt. Sie wurde 1960 im Pound-Rebka-Experiment und 2018 beim Stern S2 nahe Sagittarius A* nachgewiesen.

Licht wird nahe großer Massen abgelenkt und für einen entfernten Beobachter verzögert; die Verzögerung heißt Shapiro-Verzögerung. Licht folgt Nullgeodäten. Für die Ablenkung an der Sonne gilt α_ablenk = 4GM/(r c²) = 4r_G/r. Der Effekt ist auch Grundlage des Gravitationslinseneffekts. Bei Merkur betragen von 571″ Periheldrehung pro Jahrhundert 43,3″ einen Anteil, der nicht aus planetaren Störungen folgt und durch die ART erklärt wird.

Gravitationswellen sind sich mit Lichtgeschwindigkeit ausbreitende Fluktuationen der Raumzeitkrümmung. Sie verändern Raumabstände quer zur Ausbreitungsrichtung periodisch. Wegen der schwachen Kopplung an Materie und der Quadrupolstrahlung sind sie sehr schwer nachweisbar: Das erwartete Verhältnis von Längenänderung zu Strecke liegt bei etwa 10^{−21}. Der direkte Nachweis gelang am 14. September 2015; indirekte Hinweise liefert etwa PSR J1915+1606 durch den Energieverlust eines Doppelsternsystems.

Ein Schwarzes Loch entsteht in einer Lösung der ART, wenn eine extrem kompakte Masse eine Region bildet, aus der weder Licht noch Materie entkommen können. Der Ereignishorizont ist deren Grenze; beobachtbar sind Schwarze Löcher nur indirekt. Der Lense-Thirring-Effekt beschreibt, wie eine rotierende Masse das lokale Inertialsystem beeinflusst. Ob LAGEOS 1 und 2 2003 einen Nachweis lieferten, ist wegen möglicher Fehler des Erdschwerefelds umstritten; Gravity Probe B misst Änderungen der Drehrichtung von vier Gyroskopen.

Kosmologie und Verhältnis zur Quantenphysik

Die Kosmologie nutzt die ART, weil Gravitation die Entwicklung des Universums bestimmt. Für ein homogenes und isotropes Universum werden die Feldgleichungen zu Friedmann-Gleichungen. Ohne Einfluss der kosmologischen Konstante würde positive Skalarkrümmung späteren Kollaps, verschwindende Skalarkrümmung eine feste Expansionsgeschwindigkeit und negative Skalarkrümmung beschleunigte Expansion bedeuten. Beobachtungen von Supernovae vom Typ 1a zeigen eine beschleunigte Expansion; WMAP-Messungen ergeben innerhalb der Fehlergrenzen verschwindende Skalarkrümmung. Daraus folgt die Annahme einer positiven kosmologischen Konstante im Lambda-CDM-Modell.

Das Korrespondenzprinzip verlangt, dass die ART bei langsam bewegten, nicht zu großen Massen das Newtonsche Gravitationsgesetz und bei vernachlässigbarer Gravitation lokal die spezielle Relativitätstheorie enthält. Für Mehrteilchensysteme verwendet man wegen der schwierigen Feldgleichungen Näherungen, darunter die post-newtonsche Näherung.

Bei sehr hohen Teilchenenergien der Planck-Skala oder sehr kleinen, stark gekrümmten Raumzeitgebieten ist die ART nicht mit der Quantenphysik vereinbar. Als Quantenfeldtheorie ist sie nicht renormierbar: Berechnete Größen werden unendlich, und die üblichen Renormierungsverfahren liefern keine klaren physikalisch sinnvollen Vorhersagen. Diskutierte Ansätze für eine umfassendere Theorie sind vor allem Stringtheorie und Schleifenquantengravitation.