Konstruierbare Zahl

Grundidee und geometrische Konstruktion

Eine reelle Zahl r heißt konstruierbar, wenn sich aus einer Einheitsstrecke in endlich vielen Schritten mit Zirkel und Lineal eine Strecke der Länge |r| erzeugen lässt. Gleichwertig besitzt r einen geschlossenen Ausdruck, der nur 0 und 1 sowie Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Quadratwurzeln verwendet. Beispielsweise ist √2 konstruierbar: Sie ist die Länge der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit Katheten der Länge 1.

Aus zwei verschiedenen Ausgangspunkten O und A entstehen konstruierbare Punkte. Zu den zulässigen Schritten gehören Schnittpunkte zweier nicht paralleler konstruierter Geraden, einer konstruierten Geraden mit einem konstruierten Kreis sowie zweier verschiedener konstruierter Kreise. Eine konstruierte Strecke hat konstruierbare Endpunkte; ein konstruierter Kreis hat einen konstruierbaren Mittelpunkt und einen Radius, der dem Abstand zweier konstruierbarer Punkte entspricht. Der Mittelpunkt von OA ist zum Beispiel konstruierbar: Man zeichnet Kreise um O und A mit Radius OA und verbindet deren Schnittpunkte.

Wählt man O=(0,0) und A=(1,0), so ist eine Zahl konstruierbar genau dann, wenn sie eine Koordinate eines konstruierbaren Punktes ist; gleichwertig ist sie die x-Koordinate eines Punktes (x,0) oder die Länge einer konstruierbaren Strecke, wobei 0 als Sonderfall hinzukommt. Ein Punkt (x,y) ist konstruierbar genau dann, wenn beide Koordinaten x und y konstruierbare Zahlen sind. Solche Punkte heißen auch Zirkel-und-Lineal-Punkte.

Algebraische Beschreibung und Gleichwertigkeit

Algebraisch konstruierbare reelle Zahlen entstehen aus ganzen Zahlen – oder nur aus 0 und 1 – durch Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und das Ziehen der Quadratwurzel einer positiven Zahl. Für komplexe Zahlen darf die Quadratwurzel auf beliebige komplexe Argumente angewendet werden. Eine komplexe Zahl ist genau dann algebraisch konstruierbar, wenn ihr Real- und Imaginärteil konstruierbare reelle Zahlen sind. So ist i=√−1 konstruierbar, mit Realteil 0 und Imaginärteil 1.

Die geometrische und die algebraische Definition sind äquivalent. Sind a und b von 0 verschiedene Längen konstruierbarer Strecken, lassen sich die Längen a+b, |a−b|, ab und a/b mit Zirkel und Lineal konstruieren; Produkt und Quotient folgen aus einer Konstruktion mit dem Strahlensatz. Mit dem Höhensatz lässt sich außerdem √a konstruieren. Damit kann jeder algebraische Ausdruck in eine geometrische Konstruktion übersetzt werden.

Umgekehrt werden Punkte durch Koordinaten, Geraden durch Steigung und y-Achsenabschnitt und Kreise durch Mittelpunktkoordinaten und Radius algebraisch beschrieben. Für jeden einzelnen Konstruktionsschritt lassen sich mit den Grundrechenarten und Quadratwurzeln Formeln für die neuen Objekte aufstellen. Daher ist auch jede geometrisch konstruierbare Zahl algebraisch konstruierbar.

Körper und quadratische Erweiterungen

Die konstruierbaren Zahlen bilden einen Körper: Summe, Differenz, Produkt und multiplikatives Inverses konstruierbarer Zahlen sind wieder konstruierbar. Der Körper der konstruierbaren reellen Zahlen enthält die rationalen Zahlen und liegt im Körper der algebraischen Zahlen. Er ist der euklidische Abschluss von ℚ, also die kleinste Körpererweiterung von ℚ, die zu jedem positiven Element dessen Quadratwurzel enthält.

Eine reelle Zahl γ ist genau dann konstruierbar, wenn sie am Ende eines endlichen Körperturms reeller quadratischer Erweiterungen liegt:

ℚ = K₀ ⊆ K₁ ⊆ … ⊆ Kₙ,

wobei für jedes 0<j≤n gilt: [Kⱼ:Kⱼ₋₁]=2, und γ in Kₙ liegt. Der Grad [ℚ(γ):ℚ] ist dann eine Zweierpotenz 2ⁿ. Für komplexe Zahlen gilt die entsprechende Charakterisierung mit einem Turm komplexer quadratischer Erweiterungen. Eine Zweierpotenz als Grad ist jedoch nur eine notwendige, nicht stets hinreichende Bedingung: Nicht jede Körpererweiterung mit Zweierpotenzgrad lässt sich in quadratische Erweiterungen zerlegen.

Trigonometrische Zahlen und regelmäßige Polygone

Trigonometrische Zahlen sind Sinus- und Kosinuswerte von Winkeln, die rationale Vielfache von π sind. Sie sind immer algebraisch, aber nicht immer konstruierbar. Die Werte von Winkeln 2π/n sind genau dann konstruierbar, wenn n eine Zweierpotenz, eine Fermatsche Primzahl der Form 2^(2^n)+1 oder ein Produkt aus einer Zweierpotenz und verschiedenen Fermatschen Primzahlen ist.

Ein regelmäßiges n-Eck ist genau dann mit Zirkel und Lineal konstruierbar, wenn cos(2π/n) konstruierbar ist. Daher ist etwa das regelmäßige Fünfzehneck konstruierbar, weil 15=3·5 und 3 sowie 5 Fermatsche Primzahlen sind. Das regelmäßige Siebeneck ist nicht konstruierbar, da 7 keine Fermatsche Primzahl ist. Als direkter Nachweis führt die Darstellung seiner Ecken als komplexe Wurzeln von x⁷−1 auf das irreduzible Polynom y³+y²−2y−1 und damit auf einen nicht zulässigen Grad 3.

Grenzen von Zirkel-und-Lineal-Konstruktionen

Die klassischen Probleme sind nicht allgemein unlösbar, sondern unter der Beschränkung auf Zirkel und Lineal. Algebraische Kriterien zeigen, wann die dafür nötigen Längen nicht konstruierbar sind.

Bei der Würfelverdoppelung müsste aus einem Würfel der Kantenlänge 1 eine Kante der Länge ∛2 konstruiert werden. Das Minimalpolynom x³−2 von ∛2 hat Grad 3 über ℚ. Da 3 keine Zweierpotenz ist, ist ∛2 nicht konstruierbar.

Bei der Winkeldreiteilung wird zu einem konstruierbaren Winkel α der Winkel α/3 gesucht. Ein Winkel α ist genau dann konstruierbar, wenn cos α konstruierbar ist. Zwar ist α=π/3=60° konstruierbar und cos α=1/2; für α/3=π/9=20° hat cos(π/9) aber das Minimalpolynom 8x³−6x−1 vom Grad 3. Deshalb ist die allgemeine Winkeldreiteilung unmöglich.

Bei der Quadratur des Kreises müsste ein Quadrat mit dem Flächeninhalt des Einheitskreises, also π, konstruiert werden. Seine Seitenlänge wäre √π. Diese Zahl ist transzendent und nicht algebraisch über ℚ; sie kann daher in keinem endlichen Körperturm über ℚ liegen und ist nicht konstruierbar.

Auch das Alhazensche Problem ist im Allgemeinen nicht mit Zirkel und Lineal lösbar. Es fragt bei zwei Punkten und einem kreisförmigen Spiegel nach dem Reflexionspunkt auf dem Kreis. Für den Einheitskreis mit den inneren Punkten (1/6,1/6) und (−1/2,1/2) ergibt sich das Polynom x⁴−2x³+4x²+2x−1. Obwohl sein Grad 4 eine Zweierpotenz ist, hat sein Zerfällungskörper einen durch 3 teilbaren Grad und ist keine iterierte quadratische Erweiterung.