Quadratwurzel aus 2

Definition und grundlegende Eigenschaften

Die Quadratwurzel aus 2 ist die eindeutig bestimmte positive Zahl x, für die x² = 2 gilt. Sie wird mit √2 bezeichnet. Ihre Dezimaldarstellung beginnt mit √2 = 1,414213562….

√2 ist irrational, also nicht als Bruch ganzer Zahlen darstellbar. Anders als die Kreiszahl π und die eulersche Zahl e ist sie jedoch nicht transzendent, sondern algebraisch. Weil √2 irrational ist, besitzt sie in jedem Stellenwertsystem unendlich viele nichtperiodische Nachkommastellen. Eine exakte Darstellung durch eine endliche oder periodische Dezimalzahl ist daher nicht möglich.

Die ersten 50 dezimalen Nachkommastellen lauten: √2 = 1,41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 …

Eine Merkhilfe für den Anfang lautet √2 ≈ 1,4 14 21 35 623 7. Die ersten vier Blöcke 1,4 | 14 | 21 | 35 sind, als zweistellige Zahlen aufgefasst, durch 7 teilbar; auch die folgenden Blöcke 623 | 7 sind durch 7 teilbar.

Kettenbrüche und weitere Darstellungen

Die Kettenbruchentwicklung ist eine alternative Darstellung reeller Zahlen. Für √2 ist sie periodisch, weil √2 eine quadratische Irrationalzahl ist. Für die n-te Wurzel aus 2 mit n ≥ 3 gilt diese Periodizität dagegen nicht. Die Darstellung lautet:

√2 = [1; 2, 2, 2, 2, 2, …].

Die Wiederholung entsteht aus den Beziehungen ⌊√2⌋ = 1, 1/(√2 − 1) = √2 + 1, ⌊√2 + 1⌋ = 2 und √2 + 1 − 2 = √2 − 1, wobei ⌊x⌋ die Gaußsche Abrundungsfunktion bezeichnet.

Die ersten Näherungsbrüche sind 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70, … . Für alle ganzen n ≥ 0 ist außerdem

P(n) = ((1 + √2)^n − (1 − √2)^n)/(2√2) = Σ von k = 0 bis ∞ [C(n, 2k+1) · 2^k] = Σ für 0 ≤ k < (n+1)/2 [C(n, 2k+1) · 2^k]

eine natürliche Zahl. Dabei gilt für ganzzahliges k > (n−1)/2: C(n, 2k+1) = 0. P(n+1) ist der Nenner des n-ten Näherungsbruchs von √2.

Eine weitere Darstellung ist die unendlich fortgesetzte Kettenwurzel: √(2 + √(2 + √(2 + √(2 + …)))) = 2. Die aufeinanderfolgenden Auswertungen nähern sich dem Wert 2 an; dies wird als Konvergenz bezeichnet.

Geometrische Konstruktion und Trigonometrie

Obwohl eine irrationale Zahl wegen ihrer unendlich langen Dezimaldarstellung nicht mit einem Lineal exakt abgemessen werden kann, lässt sich √2 mit Zirkel und Lineal konstruieren. Man verwendet ein Quadrat mit Seitenlänge 1 oder ein rechtwinkliges, gleichschenkliges Dreieck, dessen beide Katheten jeweils 1 Einheit lang sind. Die Diagonale beziehungsweise die Hypotenuse hat dann die Länge √2.

Der Nachweis folgt aus dem Satz des Pythagoras. Für die Länge x der Diagonale gilt x² = 1² + 1² = 2, also x = √2. Dieses Dreieck bildet auch den Anfang der sogenannten Wurzelschnecke.

√2 tritt außerdem bei exakten trigonometrischen Werten spezieller Winkel auf. Insbesondere gilt für den Winkel 45° beziehungsweise π/4:

sin(π/4) = sin 45° = ½√2, cos(π/4) = cos 45° = ½√2.

Geschichtliche Entwicklung und Vorkommen

Bereits alte Kulturen bestimmten Näherungen für √2. Die alten Inder schätzten √2 ≈ 577/408 = 1,414215686… . Diese Näherung stimmt auf fünf Nachkommastellen mit dem tatsächlichen Wert überein; ihre Abweichung beträgt nur +0,0001502 Prozent. Ob die Inder die Irrationalität kannten, ist wahrscheinlich zu verneinen.

Babylonier und Sumerer schätzten √2 um 1950 v. Chr. umgerechnet auf 1,41. Aus der Zeit um 1800 v. Chr. ist eine genauere babylonische Näherung in einem Stellenwertsystem zur Basis 60 überliefert:

1 · 60⁰ + 24 · 60⁻¹ + 51 · 60⁻² + 10 · 60⁻³ = 30547/21600 = 1,414212962… .

Sie stimmt ebenfalls auf fünf Nachkommastellen mit dem tatsächlichen Wert überein; die Abweichung beträgt −0,0000424 Prozent.

Im späten 6. oder frühen 5. Jahrhundert v. Chr. entdeckte Hippasos von Metapont, ein Pythagoreer, an einem Quadrat oder einem regelmäßigen Fünfeck, dass sich das Verhältnis von Seitenlänge zu Diagonale nicht durch ganze Zahlen darstellen lässt. Damit wurde die Existenz inkommensurabler Größen erkannt. Um 500 v. Chr. war Hippasos die Irrationalität von √2 bekannt; den bekanntesten Beweis veröffentlichte um 300 v. Chr. Euklid. Die antike Erzählung, die Pythagoreer hätten die Veröffentlichung als Geheimnisverrat angesehen, gilt nach heutigem Forschungsstand als unglaubwürdig.

In der Natur wurde √2 als Faktor in der räumlichen Organisation von Gitterzellen im Gehirn beobachtet. Diese Zellen wurden 2005 von einer Gruppe um May-Britt und Edvard Moser in einem Kortexbereich direkt neben dem Hippocampus entdeckt. Die Maschenweite nimmt von einem Bereich zum nächsten jeweils um den Faktor √2 zu.

Anwendungen und Potenzen

Das Seitenverhältnis der beiden Seiten eines Blattes im DIN-A-Format beträgt mit Rundung auf ganze Millimeter 1/√2. Dadurch entsteht beim Halbieren eines Blattes entlang der längeren Seite wieder ein Blatt des DIN-Formats mit um eins erhöhter Nummerierung. Dieses Verhältnis beruht nicht auf dem Goldenen Schnitt (1 + √5)/2.

In der Musik ist √2 das Frequenzverhältnis zweier Töne der gleichschwebenden Stimmung, die einen Tritonus, also eine halbe Oktave, bilden. In der Elektrotechnik kommt √2 in der Beziehung zwischen Scheitelwert und Effektivwert einer sinusförmigen Wechselspannung vor.

Am Beispiel von √2 lässt sich außerdem zeigen, dass es mindestens eine rationale Potenz mit irrationaler Basis und irrationalem Exponenten gibt. Setze a = (√2)^√2 und b = √2. Es gibt zwei Fälle:

• Ist a rational, dann sind Basis √2 und Exponent √2 von a irrational. Damit ist eine rationale Potenz mit irrationaler Basis und irrationalem Exponenten gefunden.

• Ist a irrational, gilt a^b = ((√2)^√2)^√2 = 2. Dann sind a und b irrational, während a^b = 2 rational ist. Auch damit ist die Aussage erfüllt.