Konjugierte Matrix

Grundidee und Definition

Die konjugierte Matrix einer komplexen Matrix entsteht, indem jeder einzelne Eintrag komplex konjugiert wird. Sie ist wichtig, weil sie unter anderem zur Definition der adjungierten Matrix und der konjugierten Ähnlichkeit verwendet wird.

Für eine Matrix A = (aᵢⱼ) ∈ ℂ^(m×n) ist ihre Konjugierte definiert durch

Ā = (āᵢⱼ) ∈ ℂ^(m×n).

Beim komplexen Konjugieren bleibt der Realteil eines Eintrags erhalten, während das Vorzeichen seines Imaginärteils wechselt. Die Form und die Größe der Matrix ändern sich dabei nicht. Gelegentlich wird die Konjugierte mit A* bezeichnet; dieses Zeichen kann jedoch mit der ebenfalls so bezeichneten adjungierten Matrix verwechselt werden.

Beispiel und grundlegende Rechenregeln

Für

A = ((1, 2+i, 3−2i), (4i, −5, −6−3i)) ∈ ℂ^(2×3)

ergibt sich durch Konjugation aller Einträge

Ā = ((1, 2−i, 3+2i), (−4i, −5, −6+3i)) ∈ ℂ^(2×3).

Besitzt eine komplexe Matrix ausschließlich reelle Einträge, so gilt Ā = A.

Für A, B ∈ ℂ^(m×n), C ∈ ℂ^(n×k) und z ∈ ℂ gelten folgende Rechenregeln:

• Überline(z·A) = z̄·Ā.

• Überline(A+B) = Ā+B̄.

• Überline(A·C) = Ā·C̄.

• Die zweimalige Konjugation liefert wieder die Ausgangsmatrix: Überline(Ā) = A.

Die Konjugation ist außerdem mit der Transposition vereinbar:

Überline(Aᵀ) = (Ā)ᵀ.

Diese Matrix heißt adjungierte Matrix von A und wird meist mit Aᴴ oder A* bezeichnet. Ist A ∈ ℂ^(n×n) regulär, also invertierbar, dann ist auch Ā regulär und es gilt

Überline(A⁻¹) = (Ā)⁻¹.

Für eine quadratische Matrix gilt außerdem exp(Ā) = Überline(exp A). Für den Matrixlogarithmus einer regulären komplexen Matrix gilt entsprechend ln(Ā) = Überline(ln A).

Konjugationsabbildung und Kenngrößen

Die Zuordnung

ℂ^(m×n) → ℂ^(m×n), A ↦ Ā

heißt Konjugationsabbildung. Sie ist stets bijektiv, linear und selbstinvers; selbstinvers bedeutet, dass zweimaliges Anwenden wieder A ergibt. Im Matrizenraum ℂ^(m×n) ist sie ein Automorphismus, also eine strukturerhaltende bijektive Abbildung. Für m = n ist sie auch in der allgemeinen linearen Gruppe GL(n,ℂ) und im Matrizenring ℂ^(n×n) ein Automorphismus.

Wichtige Kenngrößen verhalten sich bei der Konjugation wie folgt:

• Der Rang bleibt gleich: rang(Ā) = rang(A).

• Die Spur wird komplex konjugiert: spur(Ā) = Überline(spur(A)).

• Die Determinante wird komplex konjugiert: det(Ā) = Überline(det(A)).

Für das charakteristische Polynom gilt

χ_Ā(λ) = Überline(χ_A(λ̄)).

Daraus folgt: Die Eigenwerte von Ā sind genau die komplex Konjugierten der Eigenwerte von A. Auch die zugehörigen Eigenvektoren können komplex konjugiert gewählt werden.

Normen und besondere Matrixarten

Mehrere gebräuchliche Matrixnormen bleiben unter der Konjugation unverändert. Für die Frobeniusnorm und die Spektralnorm gilt

‖Ā‖F = ‖A‖F und ‖Ā‖₂ = ‖A‖₂.

Dasselbe gilt für die Spaltensummennorm und die Zeilensummennorm:

‖Ā‖₁ = ‖A‖₁ und ‖Ā‖∞ = ‖A‖∞.

Die Konjugierte wird zur Definition besonderer Matrizen verwendet:

• Die adjungierte Matrix entsteht durch Konjugation und Transposition: Aᴴ = Überline(Aᵀ) = (Ā)ᵀ.

• Eine hermitesche Matrix ist eine komplexe quadratische Matrix mit Aᵀ = Ā.

• Eine schiefhermitesche Matrix ist eine komplexe quadratische Matrix mit Aᵀ = −Ā.

• Eine komplexe Matrix ist genau dann reell, wenn A = Ā gilt.

Produkt mit der Konjugierten und konjugierte Ähnlichkeit

Für eine komplexe Zahl z ist z·z̄ das Betragsquadrat und daher stets reell und nichtnegativ. Bei einer komplexen quadratischen Matrix A muss das entsprechende Produkt A·Ā dagegen nicht reell sein. Seine Determinante ist jedoch immer reell und nichtnegativ, denn nach dem Determinantenproduktsatz gilt

det(A·Ā) = det(A)·det(Ā) = det(A)·Überline(det(A)).

Auch die Eigenwerte von A·Ā müssen nicht alle reell sein. Nicht-reelle Eigenwerte treten jedoch paarweise komplex konjugiert auf. Das Produkt A·Ā wird beispielsweise bei der Analyse komplexer symmetrischer Matrizen verwendet.

Zwei quadratische Matrizen A, B ∈ ℂ^(n×n) heißen konjugiert ähnlich, wenn eine reguläre Matrix S ∈ ℂ^(n×n) existiert, sodass

B = S⁻¹·A·S̄.

Die konjugierte Ähnlichkeit ist wie die normale Ähnlichkeit eine Äquivalenzrelation auf der Menge der quadratischen Matrizen. Für zwei reguläre Matrizen A und B gilt außerdem: Sie sind genau dann konjugiert ähnlich, wenn A·Ā ähnlich zu B·B̄ ist.