Konfidenzintervall

Grundidee und richtige Deutung

Ein Konfidenzintervall, kurz KI, ist in der frequentistischen Statistik ein Intervall, das die Präzision einer Schätzung für einen unbekannten Parameter angibt, zum Beispiel für einen Mittelwert. Es wird auch Vertrauensintervall, Konfidenzbereich, Vertrauensbereich oder Erwartungsbereich genannt. Das Konfidenzintervall gibt einen Wertebereich an, der nach einem festgelegten Verfahren den wahren Parameter einer Verteilung mit einer bestimmten nominalen Überdeckungswahrscheinlichkeit überdeckt. Diese Wahrscheinlichkeit heißt Konfidenzniveau oder Konfidenzkoeffizient; häufig wird 95 % verwendet.

Wichtig ist die korrekte Interpretation: Nicht der wahre Wert ist zufällig, sondern die Grenzen des Intervalls, weil sie aus einer Zufallsstichprobe berechnet werden. Deshalb ist die Formulierung, der wahre Wert liege mit 95 % Wahrscheinlichkeit im konkret berechneten Intervall, streng genommen falsch. Richtig ist: Ein Verfahren zur Berechnung von 95-%-Konfidenzintervallen liefert bei sehr vielen gleichartigen Stichproben in ungefähr 95 % der Fälle Intervalle, die den wahren Wert überdecken.

Das Schätzen mit Konfidenzintervallen heißt Intervallschätzung. Die zugehörige Schätzfunktion heißt Bereichsschätzer oder Intervallschätzer. Im Unterschied zu einem Punktschätzer, der nur einen einzelnen Wert liefert, zeigt ein Intervall auch die Unsicherheit der Schätzung. Ein breites Intervall bei vorgegebenem Konfidenzniveau kann auf einen kleinen Stichprobenumfang oder auf starke Variabilität in der Grundgesamtheit hinweisen. Abzugrenzen sind Konfidenzintervalle vom bayesschen Glaubwürdigkeitsintervall sowie vom Prognoseintervall und Toleranzintervall für einzelne mögliche Beobachtungswerte.

Definitionen und Konfidenzniveau

Für ein fest vorgegebenes γ ∈ (0,1) ist ein γ · 100 %-Konfidenzintervall für einen Parameter ϑ zum Konfidenzniveau γ durch zwei auf einer Zufallsstichprobe X₁:ₙ beruhende Statistiken Tᵤ = hᵤ(X₁:ₙ) und Tᵥ = hᵥ(X₁:ₙ) definiert. Sie erfüllen P(Tᵤ ≤ ϑ ≤ Tᵥ) = γ für alle ϑ ∈ Θ. Dabei sind Tᵤ und Tᵥ die zufälligen Grenzen des Konfidenzintervalls, und es wird Tᵤ < Tᵥ angenommen. Die beobachteten Werte tᵤ und tᵥ bilden das konkrete Schätzintervall [tᵤ, tᵥ].

Formal betrachtet gibt es ein statistisches Modell (X, A, (Pϑ)ϑ∈Θ) und eine Funktion g: Θ → Γ, die im parametrischen Fall Parameterfunktion heißt. Ein Konfidenzbereich ist eine Abbildung C: X → P(Γ), die jeder Beobachtung x eine Teilmenge von Γ zuordnet. Die Bedingung (M) verlangt, dass für alle γ ∈ Γ die Menge A(γ) := {x ∈ X | γ ∈ C(x)} in A enthalten ist. Dadurch können diesen Mengen Wahrscheinlichkeiten zugeordnet werden.

Ist Γ ⊂ ℝ und ist C(x) für jedes x ein Intervall, spricht man von einem Konfidenzintervall. Formen wie (-∞, b⁺(x)], [b⁻(x), b⁺(x)] oder [b⁻(x), +∞) beschreiben einseitige oder zweiseitige Intervalle. b⁺(x) heißt obere Konfidenzschranke, b⁻(x) untere Konfidenzschranke.

Ein Konfidenzbereich C hat das Konfidenzniveau oder Sicherheitsniveau 1 − α, wenn Pϑ({x ∈ X | g(ϑ) ∈ C(x)}) ≥ 1 − α für alle ϑ ∈ Θ gilt. Der Wert α heißt Irrtumsniveau. Häufig setzt man γ = 1 − α. Die Wahrscheinlichkeit 1 − α lässt sich als relative Häufigkeit verstehen: Bei vielen gleichartigen Konfidenzschätzungen nähert sich der Anteil der Intervalle, die den Parameter überdecken, dem Wert 1 − α.

Konstruktion und typische Formeln

Ein wichtiges Verfahren ist das Wald-Konfidenzintervall. Es wird mit der Wald-Statistik berechnet und kann asymptotisch, also für große Stichprobenumfänge, mithilfe der Fisher-Information konstruiert werden. Für ein 95-%-Intervall wird angegeben: θ̂ML ± 1,96 · 1 / √(− ∂²/∂θ² ℓ(θ̂ML)). Dabei ist ℓ(·) = log L(·) die Log-Likelihood-Funktion. Der Ausdruck − ∂²/∂θ² ℓ(θ̂ML) ist die beobachtete Fisher-Information an der Stelle des Maximum-Likelihood-Schätzers θ̂ML. Der Faktor 1 / √(− ∂²/∂θ² ℓ(θ̂ML)) heißt Standardfehler des Maximum-Likelihood-Schätzers. Häufig verwendet man statt der beobachteten auch die erwartete Fisher-Information E(− ∂²/∂θ² ℓ(θ̂ML)).

Bei einer angenommenen Normalverteilung und einer unabhängigen, identisch verteilten Stichprobe der Größe N ergibt sich für den Mittelwert als Standardfehler σ̂ / √N. Das ist der bekannte Standardfehler des Mittelwertes.

Andere Konfidenzintervalle können über alternative Parametrisierungen der Log-Likelihood-Funktion konstruiert werden, zum Beispiel mit der Logit-Transformation oder dem Logarithmus. Das kann hilfreich sein, wenn die Log-Likelihood-Funktion sehr schief ist. Außerdem lassen sich Konfidenzintervalle mithilfe des Likelihood-Quotienten bestimmen. Eine nichtparametrische Methode sind Bootstrap-Konfidenzintervalle; dabei muss keine Verteilung angenommen werden, sondern es wird Bootstrapping verwendet.

Verfahren am Mittelwert

Ausgangspunkt ist ein unbekannter Parameter ϑ einer Grundgesamtheit. Er wird durch eine Schätzfunktion aus einer Stichprobe vom Umfang n geschätzt. Dabei wird angenommen, dass die Stichprobe eine einfache Zufallsstichprobe ist und die Grundgesamtheit ungefähr widerspiegelt. Die Schätzfunktion ist selbst eine Zufallsvariable mit einer Verteilung, die den Parameter ϑ enthält.

Für ein normalverteiltes Merkmal mit unbekanntem Erwartungswert μ und bekannter Varianz σ² wird der Stichprobenmittelwert X̄ als erwartungstreue Schätzfunktion verwendet. Es gilt X̄ = (1/n) Σᵢ₌₁ⁿ Xᵢ und für die Punktschätzung μ̂ = x̄ = (1/n) Σᵢ₌₁ⁿ xᵢ. Der Stichprobenmittelwert besitzt die Verteilung X̄ ~ N(μ, σ²/n).

Durch Standardisierung zur Standardnormalverteilung N(0,1) erhält man Z = (X̄ − μ)/(σ/√n). Daraus ergibt sich das (1 − α)-Konfidenzintervall für μ: KI₁₋α(μ) = [X̄ − z(1−α/2) · σ/√n ; X̄ + z(1−α/2) · σ/√n]. Für eine konkrete Stichprobe wird daraus [x̄ − z(1−α/2) · σ/√n ; x̄ + z(1−α/2) · σ/√n].

Die Grenzen hängen vom beobachteten x̄ ab und ändern sich deshalb von Stichprobe zu Stichprobe. In α · 100 % aller Stichproben überdeckt das Intervall den wahren Parameter nicht. Die Breite des Intervalls hängt von der Standardabweichung der Schätzfunktion und vom gewählten Konfidenzniveau ab. Durch größeren Stichprobenumfang n kann die Breite verringert werden. Ein schmales Intervall weist bei konstantem Konfidenzniveau auf eine genauere Schätzung hin.

Die halbe Breite des Konfidenzintervalls heißt absoluter Fehler e. Im genannten Fall gilt e = z(1−α/2) · σ/√n; die Intervallbreite ist 2e. Der absolute Fehler ist wichtig, wenn bei vorgegebener Genauigkeit und vorgegebenem Sicherheitsgrad der nötige Stichprobenumfang n bestimmt werden soll. Enthält die Stichprobe korrelierte Daten, muss dies bei der Schätzung der Standardabweichung σ berücksichtigt werden; sonst entsteht Pseudoreplikation. Blocking kann dann für eine bessere Schätzung von σ verwendet werden.

Ausgewählte Schätzintervalle und Tests

Für stetige Verteilungen werden mehrere wichtige Fälle unterschieden. Beim Erwartungswert eines normalverteilten Merkmals mit bekannter Varianz σ² lautet das Intervall [x̄ − z(1−α/2) · σ/√n ; x̄ + z(1−α/2) · σ/√n]. Dabei ist z(1−α/2) das (1 − α/2)-Quantil der Standardnormalverteilung.

Ist die Varianz unbekannt, wird sie durch die korrigierte Stichprobenvarianz s² = 1/(n−1) · Σ(xᵢ − x̄)² geschätzt. Für den Erwartungswert eines normalverteilten Merkmals mit unbekannter Varianz verwendet man [x̄ − t(1−α/2; n−1) · s/√n ; x̄ + t(1−α/2; n−1) · s/√n], wobei t(1−α/2; n−1) das entsprechende Quantil der t-Verteilung mit n − 1 Freiheitsgraden ist. Für n > 30 kann dieses Quantil näherungsweise durch das entsprechende Quantil der Standardnormalverteilung ersetzt werden. Für einen unbekannt verteilten Erwartungswert mit unbekannter Varianz kann bei genügend großem n wegen des zentralen Grenzwertsatzes [x̄ − z(1−α/2) · s/√n ; x̄ + z(1−α/2) · s/√n] verwendet werden.

Für die Standardabweichung eines normalverteilten Merkmals wird ein Intervall mit Quantilen der Chi-Quadrat-Verteilung angegeben: [s√((n−1)/χ²(1−α/2; n−1)); s√((n−1)/χ²(α/2; n−1))]. Für diskrete Verteilungen sind Konfidenzintervalle für den Parameter p der Binomialverteilung wichtig. Das Clopper-Pearson-Konfidenzintervall kann mithilfe der Beta- oder F-Verteilung bestimmt werden und heißt exakt, weil das geforderte Konfidenzniveau tatsächlich eingehalten wird. Näherungsmethoden auf Basis der Normalapproximation halten das Konfidenzniveau oft nicht ein.

Konfidenzbereiche und statistische Tests sind dual zueinander. Wird für einen Parameter ϑ die Nullhypothese ϑ = ϑ₀ auf Signifikanzniveau α getestet, dann wird sie nicht abgelehnt, wenn das zugehörige (1 − α)-Konfidenzintervall den Wert ϑ₀ enthält. Deshalb können Konfidenzintervalle gelegentlich Hypothesentests ersetzen. In der Regressionsanalyse bedeutet zum Beispiel 0 ∈ KI₁₋α(βⱼ), dass der Regressionskoeffizient βⱼ bei Signifikanzniveau α statistisch nicht von 0 verschieden ist.

Rechenbeispiele

In einem Beispiel möchte ein Unternehmen den durchschnittlichen täglichen Absatz eines neuen Spülmittels schätzen. Der tägliche Absatz X wird als Zufallsvariable mit unbekanntem Erwartungswert μ und unbekannter Varianz σ² betrachtet; aufgrund langjähriger Beobachtungen wird X als annähernd normalverteilt angenommen. Das Konfidenzniveau beträgt 0,95. Über 16 Tage werden Absätze gemessen: 110, 112, 106, 90, 96, 118, 108, 114, 107, 90, 85, 84, 113, 105, 90, 104.

Für eine normalverteilte Grundgesamtheit mit unbekannter Varianz wird das t-Intervall verwendet: [x̄ − t(1−α/2; n−1) · s/√n ; x̄ + t(1−α/2; n−1) · s/√n]. Es ergibt sich x̄ = (1/16) · 1632 = 102 und s² = (1/15) · 1856 = 123,73. Das Quantil der t-Verteilung mit 15 Freiheitsgraden ist t(0,975; 15) = 2,131. Daraus folgt das 95-%-Konfidenzintervall [102 − 5,93; 102 + 5,93] = [96,07; 107,93]. Im Mittel enthalten 95 % solcher Intervalle den wahren Mittelwert μ; für das konkrete Intervall sagt man nicht, dass es mit 95 % Wahrscheinlichkeit den wahren Mittelwert enthält.

Ein zweites Beispiel betrifft eine Lieferung von 6000 Stück, etwa Schrauben. Bei einer Eingangsprüfung nach ISO 2859-1 werden 200 Schrauben zufällig aus dem Los gezogen; 10 erfüllen die Anforderungen nicht. Mit dem Clopper-Pearson-Konfidenzintervall, berechnet über die Excel-Funktion BETAINV, kann der erwartete Anteil fehlerhafter Schrauben im ganzen Los abgeschätzt werden. Bei einem Konfidenzniveau von 95 % ergibt sich für n = 200 und k = 10 das Intervall [2,4 %, 9 %].