Wikipedia · einfach zusammengefasst · Stand
Schätzfunktion
Schätzfunktionen sind die Basis zur Berechnung von Punktschätzungen und zur Bestimmung von Konfidenzintervallen mittels Bereichsschätzern und werden als …
Inhalt5 Abschnitte
Bedeutung und Definition
Eine Schätzfunktion, auch Schätzstatistik oder kurz Schätzer, ist eine Stichprobenfunktion der mathematischen Statistik. Sie verwendet empirische Daten aus einer Stichprobe, um einen unbekannten Parameter oder eine unbekannte Eigenschaft der Grundgesamtheit zu schätzen. Ihr konkreter Zahlenwert heißt Schätzwert.
Schätzfunktionen sind die Grundlage für Punktschätzungen, Konfidenzintervalle mit Bereichsschätzern und Teststatistiken in Hypothesentests. Sie können beispielsweise durch die Kleinste-Quadrate-Schätzung, die Maximum-Likelihood-Schätzung oder die Momentenmethode bestimmt werden. In der Entscheidungstheorie lassen sie sich außerdem als Entscheidungsfunktionen für Entscheidungen unter Unsicherheit auffassen.
Formal sei Tₙ = h(X₁, …, Xₙ) eine reellwertige Stichprobenfunktion, die auf einer Zufallsstichprobe X₁, …, Xₙ aus einer Wahrscheinlichkeitsverteilung mit unbekanntem skalarem Parameter θ beruht. Großbuchstaben bezeichnen Zufallsvariablen. Wird Tₙ zur statistischen Inferenz über θ verwendet, heißt es Schätzfunktion oder Schätzer für θ. Für beobachtete Werte x₁, …, xₙ nimmt der Schätzer den Wert tₙ = h(x₁, …, xₙ) an; dieser ist der Schätzwert für θ. Falls der Stichprobenumfang nicht wichtig ist, schreibt man T und t statt Tₙ und tₙ. Der Begriff „Schätzung“ kann sowohl das Verfahren, seine Durchführung als auch den Schätzwert bezeichnen.
Stichprobe und statistisches Modell
Meist sollen anhand endlich vieler Beobachtungen Aussagen über die Verteilung oder Parameter einer Grundgesamtheit getroffen werden. Eine vollständige Erhebung, also eine Total- oder Vollerhebung, ist nur selten möglich; als Beispiel nennt der Artikel die Arbeitslosenstatistik der amtlichen Statistik. In der Regel wird deshalb eine Teilerhebung durchgeführt: Man untersucht eine zufällige Auswahl von n Elementen, etwa wenn die mittlere Größe der 18-Jährigen in der EU bestimmt werden soll.
Die Stichprobenvariable Xᵢ beschreibt durch ihre Verteilung, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine bestimmte Merkmalsausprägung bei der i-ten Ziehung aus der Grundgesamtheit auftritt. Jeder Beobachtungswert xᵢ ist eine Realisierung von Xᵢ. Daraus lassen sich Stichprobenfunktionen bilden. Für das arithmetische Mittel gilt beispielsweise:
X̄ = (1/n)(X₁ + X₂ + … + Xₙ), während der beobachtete Wert x̄ = (1/n)(x₁ + x₂ + … + xₙ) lautet.
Weil jede Zufallsstichprobe anders ausfallen kann, sind Stichprobenfunktionen Zufallsvariablen. Ihre Verteilung hängt von der Art der Stichprobenziehung und von der Verteilung des Merkmals in der Grundgesamtheit ab. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Stichprobenfunktion heißt Stichprobenverteilung.
Bei der formalen Konstruktion werden die Beobachtungen xᵢ als Realisierungen von Zufallsvariablen Xᵢ mit unbekannter „wahrer“ Verteilung und unbekannten Parametern betrachtet. Eine Schätzfunktion g(X₁, X₂, …, Xₙ) fasst die Stichprobenvariablen zusammen; formal wird vorausgesetzt, dass g messbar ist. Häufig nimmt man zur Vereinfachung an, dass die Xᵢ unabhängig und identisch verteilt sind, also dieselbe Verteilung und dieselben Verteilungsparameter besitzen.
Grundidee und ausgewählte Schätzer
Schätzfunktionen hängen unter anderem von der Ziehungsart der Stichprobe, etwa Ziehen mit oder ohne Zurücklegen, und von der Schätzmethode ab. Sie sollen aus Modell und Stichprobe möglichst verlässliche Aussagen über die Grundgesamtheit ermöglichen, beispielsweise Intervalle, die den wahren Parameter mit hoher Wahrscheinlichkeit enthalten, oder Hypothesentests bei vorgegebener Fehlerwahrscheinlichkeit.
Wichtige Zielgrößen sind der Mittelwert μ, die Varianz σ² eines metrischen Merkmals und der Anteilswert π einer dichotomen Grundgesamtheit.
Für den Mittelwert wird meist das Stichprobenmittel verwendet:
Schätzfunktion: X̄ = (1/n) Σᵢ₌₁ⁿ Xᵢ
Schätzwert: μ̂ = x̄ = (1/n) Σᵢ₌₁ⁿ xᵢ.
Bei einer symmetrischen Verteilung kann auch der Median als Schätzwert für den Erwartungswert dienen. Als Schätzfunktion wird dann Z = X_{⌊(n+1)/2⌋} verwendet, der Schätzwert lautet μ̂ = z = x_{⌊(n+1)/2⌋}. Die untere Gaußklammer ⌊ · ⌋ bezeichnet dabei die Abrundung. Der Median ist nach dem Sortieren der Daten der mittlere Wert; zahlenmäßig liegen genauso viele Werte oberhalb wie unterhalb des Medians. Welche Funktion bei symmetrischen Verteilungen besser ist, hängt von der betrachteten Verteilungsfamilie ab.
Für die Varianz wird meist die korrigierte Stichprobenvarianz verwendet:
Schätzfunktion: Sₙ² = [1/(n−1)] Σᵢ₌₁ⁿ (Xᵢ − X̄)²
Schätzwert: σ̂² = sₙ² = [1/(n−1)] Σᵢ₌₁ⁿ (xᵢ − x̄)².
Weitere mögliche Vorfaktoren sind 1/n und 1/(n+1). Diese Schätzer sind asymptotisch äquivalent, werden aber je nach Stichprobenart unterschiedlich eingesetzt.
Beim Anteilswert betrachtet man ein Urnenmodell mit zwei Sorten Kugeln. Der Anteil der Kugeln erster Sorte in der Stichprobe schätzt den Anteil π in der Grundgesamtheit:
Π = X/n = (1/n) Σᵢ₌₁ⁿ Xᵢ,
π̂ = (1/n) Σᵢ₌₁ⁿ xᵢ.
Dabei ist X die Zahl der Kugeln erster Sorte in der Stichprobe und Xᵢ eine binäre Zufallsvariable: Xᵢ = 1, wenn bei der i-ten Ziehung eine Kugel erster Sorte gezogen wird, sonst Xᵢ = 0. Mit Zurücklegen ist Π binomialverteilt, ohne Zurücklegen hypergeometrisch verteilt.
Verteilung der Schätzer
Die Verteilung einer Schätzfunktion wird durch die Verteilung des Merkmals in der Grundgesamtheit bestimmt. Sind X₁, X₂, …, Xₙ unabhängig und identisch normalverteilt mit Erwartungswert μ und Varianz σ², dann ist das Stichprobenmittel normalverteilt:
X̄ ~ 𝒩(μ; σ²/n).
Für den Varianzschätzer gilt unter diesen Voraussetzungen:
[(n−1)Sₙ²]/σ² ~ χ²(n−1).
Der Ausdruck ist also Chi-Quadrat-verteilt mit n−1 Freiheitsgraden. Ist die Verteilung des Merkmals unbekannt, kann die Verteilung der Schätzfunktion bei erfüllten Voraussetzungen des zentralen Grenzwertsatzes näherungsweise durch eine Normalverteilung oder eine daraus abgeleitete Verteilung beschrieben werden.
Gütekriterien und Fehler
Statistische Entscheidungen auf Grundlage einer Stichprobe können fehlerhaft sein. Gründe sind eine nicht repräsentative Stichprobe, ein falsches Modell für die Zufallsvariablen Xᵢ oder eine zufällig untypische Stichprobe. Dem begegnet man durch möglichst einfache Zufallsstichproben, ausreichend allgemeine Modelle, Schätzfunktionen mit auch für viele Modelle berechenbarer Verteilung und die Angabe einer Irrtumswahrscheinlichkeit.
Eine Schätzfunktion gₙ ist erwartungstreu, wenn ihr Erwartungswert dem wahren Parameter γ entspricht:
E(gₙ) = γ.
Weicht E(gₙ) systematisch von γ ab, ist der Schätzer verzerrt. Die Verzerrung beträgt:
Bias(gₙ) = E(gₙ) − γ = E(gₙ − γ).
Asymptotische Erwartungstreue liegt vor, wenn limₙ→∞ E(gₙ) = γ gilt.
Konsistenz bedeutet, dass sich der Schätzer bei wachsendem Stichprobenumfang immer genauer an γ annähert. Formal gilt für jedes ε > 0:
limₙ→∞ P(|gₙ − γ| > ε) = 0,
wobei gₙ = g(X₁, X₂, …, Xₙ) ist. Dies heißt stochastische Konvergenz. Konsistente Schätzfunktionen müssen mindestens asymptotisch erwartungstreu sein. Die Eigenschaft ist für die induktive Statistik grundlegend, weil ein größerer Stichprobenumfang genauere Schätzungen, kleinere Konfidenzintervalle oder kleinere Annahmebereiche der H₀ in Hypothesentests ermöglicht.
Unter den erwartungstreuen Schätzfunktionen gilt eine Funktion gₙ* als effizient, beste oder wirksamste Schätzfunktion, wenn sie die kleinste Varianz besitzt:
Var(gₙ*) ≤ min_{gₙ} Var(gₙ).
Die Cramér-Rao-Ungleichung kann unter bestimmten Bedingungen eine untere Grenze für Var(gₙ) liefern. Dann lässt sich zeigen, dass keine effizientere Schätzfunktion existiert.
Der mittlere quadratische Fehler, MSE, misst die Genauigkeit eines Schätzers und soll möglichst klein sein:
MSE(gₙ) = E[(gₙ − γ)²] = (E[gₙ − γ])² + E[(gₙ − E(g))²] = (Bias(gₙ))² + Var(gₙ).
Er setzt sich somit aus der Varianz und dem Quadrat der Verzerrung zusammen. Für erwartungstreue Schätzer sind Varianz und MSE gleich groß.
