Komplanarität

Grundidee

Komplanarität bedeutet in der Analytischen Geometrie, dass geometrische Objekte in einer gemeinsamen Ebene liegen. Mehr als drei Punkte sind komplanar, wenn sie alle in derselben Ebene liegen. Drei verschiedene Punkte, die nicht auf einer gemeinsamen Geraden liegen, bestimmen eindeutig eine Ebene.

Bei Vektoren heißt Komplanarität: Drei Vektoren liegen in derselben Ebene. Das ist genau dann der Fall, wenn einer der drei Vektoren als Linearkombination der beiden anderen geschrieben werden kann. Eine Linearkombination bedeutet hier zum Beispiel: \vec a = r\vec b + s\vec c mit reellen Zahlen r und s. Damit sind die drei Vektoren linear abhängig. Komplanarität ist also ein Spezialfall der linearen Abhängigkeit, nämlich für genau drei Vektoren im Raum.

Prüfmethoden

In der linearen Algebra bedeutet Komplanarität bei Vektoren eines Vektorraums, dass der von ihnen aufgespannte Untervektorraum die Dimension 2 hat. Zur Untersuchung gibt es mehrere gleichwertige Wege.

Eine Möglichkeit ist zu prüfen, ob sich ein Vektor als Linearkombination der beiden anderen darstellen lässt. Man setzt etwa \vec a = r\vec b + s\vec c an und sucht reelle Zahlen r und s. Dadurch entsteht ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten. Hat dieses System eine passende Lösung, sind die Vektoren komplanar.

Eine zweite Möglichkeit nutzt die allgemeine Bedingung für lineare Abhängigkeit: Für drei komplanare Vektoren \vec a, \vec b, \vec c muss die Gleichung \alpha\vec a + \beta\vec b + \gamma\vec c = \vec 0 eine Lösung besitzen, bei der \alpha, \beta, \gamma nicht alle null sind. Dann löst man ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Unbekannten.

Stammen die Vektoren aus einem dreidimensionalen Vektorraum, kann man auch das Spatprodukt verwenden. Die Vektoren \vec a, \vec b, \vec c sind genau dann komplanar, wenn ihr Spatprodukt (\vec a,\vec b,\vec c)=0 ist. Entsprechend gilt auch \det(\vec a,\vec b,\vec c)=0.

Rechenbeispiel

Untersucht werden die drei Vektoren \vec a=\begin{pmatrix}2\\4\\6\end{pmatrix}, \vec b=\begin{pmatrix}2\\6\\7\end{pmatrix} und \vec c=\begin{pmatrix}2\\0\\4\end{pmatrix}. Man prüft, ob \vec a als Linearkombination von \vec b und \vec c dargestellt werden kann:

\begin{pmatrix}2\\4\\6\end{pmatrix}=r\cdot\begin{pmatrix}2\\6\\7\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}2\\0\\4\end{pmatrix}, mit r,s\in\mathbb R.

Daraus folgt das Gleichungssystem: 2r+2s=2, 6r+0s=4, 7r+4s=6. Aus der zweiten Gleichung folgt r=2/3. Einsetzen in die erste Gleichung ergibt s=1/3. Die dritte Gleichung ist damit erfüllt, denn 7\cdot 2/3 + 4\cdot 1/3 = 6. Also gilt \vec a = \frac{2}{3}\vec b + \frac{1}{3}\vec c. Damit sind \vec a, \vec b und \vec c komplanar.

Kollinearität und Nutzung

Kollineare Vektoren sind immer auch komplanar. Kollinear bedeutet, dass Vektoren auf derselben Geraden liegen oder Vielfache voneinander sind. Für solche Vektoren gibt es unendlich viele Ebenen, in denen sie liegen können.

Im Artikel wird dazu der Vektor \vec d=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix} betrachtet. Ersetzt man im Beispiel \vec b durch \vec d, dann sind \vec a und \vec d kollinear. Eine Untersuchung der Vektoren \vec a,\vec d,\vec c liefert s=0 und r=2, woraus die Kollinearität von \vec a und \vec d folgt. Der Vektor \vec c lässt sich dagegen nicht als Linearkombination der beiden anderen darstellen, weil diese keine Basis des durch \vec a und \vec b erzeugten zweidimensionalen Vektorraums sind.

Komplanaritätsuntersuchungen werden häufig verwendet, um Lagebeziehungen zwischen Geraden oder zwischen Geraden und Ebenen zu bestimmen. Auch außerhalb der Mathematik kann Coplanarität wichtig sein: In der Chemie ist sie bei Kongeneren von polychlorierten Biphenylen (PCB) ein Kriterium für deren Toxizität. Coplanare beziehungsweise dioxinähnliche PCB sind deutlich toxischer.