Kollinearität

Grundidee der Kollinearität

Kollinearität bezeichnet in Geometrie und linearer Algebra eine Lagebeziehung von Punkten oder Vektoren. Drei oder mehr Punkte heißen kollinear, wenn sie auf einer gemeinsamen Geraden liegen. Bei nur zwei Punkten ist der Begriff nicht aussagekräftig, weil durch zwei Punkte stets genau eine Gerade verläuft.

Zwei Vektoren heißen kollinear, wenn sie dieselbe oder genau die entgegengesetzte Richtung besitzen. Das bedeutet, dass einer ein Vielfaches des anderen ist; dies ist gleichbedeutend mit ihrer linearen Abhängigkeit. Die Aussage betrifft genau zwei Vektoren in der Ebene oder im Raum.

Kollinearität ist in der affinen und projektiven Geometrie wichtig. Sie bleibt unter bestimmten Abbildungen erhalten, die Kollineationen heißen.

Bekannte Punktanordnungen im Dreieck

In der euklidischen Geometrie treten kollineare Punkte besonders bei Dreiecken auf. Schwerpunkt, Umkreismittelpunkt und Höhenschnittpunkt eines Dreiecks liegen auf der eulerschen Geraden und sind daher kollinear.

Auch der Gergonne-Punkt, der Schwerpunkt und der Mittenpunkt eines Dreiecks sind kollinear. Der Satz von Menelaos liefert ein Kriterium dafür, ob drei Punkte auf den gegebenenfalls verlängerten Seiten eines Dreiecks kollinear sind.

Weitere Fälle sind die Schnittpunkte der Außenwinkelhalbierenden mit den Verlängerungen der gegenüberliegenden Seiten: Diese Punkte sind kollinear. Nach dem Satz von Desargues sind außerdem drei Punkte U, V und W kollinear, wenn sich die Geraden durch je zwei entsprechende Eckpunkte zweier Dreiecke in einem Punkt Z schneiden und die entsprechenden verlängerten Seiten sich jeweils in U, V und W schneiden.

Punkte rechnerisch prüfen

Eine Punktmenge eines affinen Raums ist genau dann kollinear, wenn der von ihren Verbindungsvektoren aufgespannte Vektorraum höchstens die Dimension 1 besitzt.

Für drei Punkte P₁(x₁,y₁), P₂(x₂,y₂) und P₃(x₃,y₃) kann man zunächst die Gerade durch zwei Punkte in Zweipunkteform aufstellen. Mit einer Punktprobe wird geprüft, ob der dritte Punkt auf dieser Geraden liegt. Dann sind die drei Punkte kollinear; andernfalls sind sie es nicht.

Gleichwertig untersucht man die Verbindungsvektoren \overrightarrow{P_1P_2} und \overrightarrow{P_1P_3}. Die Punkte sind genau dann kollinear, wenn diese Vektoren linear abhängig sind.

In der Ebene gilt außerdem das Determinantenkriterium: \begin{vmatrix}x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\x_3&y_3&1\end{vmatrix}=x_1y_2+x_2y_3+x_3y_1-x_1y_3-x_2y_1-x_3y_2=0. Der Ausdruck links vom ersten Gleichheitszeichen ist eine Determinante.

Kollineare Vektoren

Zwei Vektoren \vec a und \vec b heißen kollinear, wenn es eine reelle Zahl \lambda gibt, sodass \vec a=\lambda\cdot\vec b oder \vec b=\lambda\cdot\vec a gilt. Diese Definition schließt den Nullvektor ein. Für zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren heißt das anschaulich: Jeder Vektor ist ein Vielfaches des anderen. Präziser lassen sich dann Skalare \alpha und \beta angeben, sodass \vec a=\beta\cdot\vec b und \vec b=\alpha\cdot\vec a gilt.

Äquivalent ist die lineare Abhängigkeit: Es gibt reelle Zahlen \alpha und \beta, die nicht beide null sind, mit \alpha\vec a+\beta\vec b=\vec0. Für Vektoren im Raum kann Kollinearität auch durch das Kreuzprodukt geprüft werden: \vec a\times\vec b=\vec0.

Beginnen beide Vektoren im Koordinatenursprung, liegen sie auf einer Geraden. Sie zeigen dann in dieselbe oder exakt entgegengesetzte Richtung, können aber unterschiedliche Längen haben. Bei Lagebeziehungen von Geraden wird dies häufig genutzt: Geraden mit kollinearen Richtungsvektoren sind entweder identisch oder echt parallel.