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Winkelhalbierendensatz (Dreieck)
Der Winkelhalbierendensatz ist eine Aussage der euklidischen Geometrie. Er besagt, dass eine Winkelhalbierende in einem Dreieck die dem Winkel …
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Kernaussage und Umkehrung
Der Winkelhalbierendensatz gehört zur euklidischen Geometrie. Er beschreibt, wie eine Winkelhalbierende – eine Strecke, die einen Winkel in zwei gleich große Winkel teilt – die gegenüberliegende Seite eines Dreiecks aufteilt.
Im Dreieck △ABC liegt D auf der Seite AB. Die Strecke CD zerlegt den Winkel ∠ACB in γ₁ = ∠ACD und γ₂ = ∠DCB. Ist γ₁ = γ₂, also CD die Winkelhalbierende bei C, dann gilt:
|AC| / |BC| = |AD| / |DB|.
Die gegenüberliegende Seite AB wird somit im gleichen Verhältnis geteilt wie die beiden an C anliegenden Seiten AC und BC.
Auch die Umkehrung gilt: Liegt D auf AB und erfüllt der Punkt die Gleichung |AC| / |BC| = |AD| / |DB|, dann ist CD die Winkelhalbierende des Winkels bei C. Der Satz kann daher sowohl zum Berechnen von Streckenverhältnissen als auch zum Nachweisen einer Winkelhalbierenden verwendet werden.
Verallgemeinerung auf beliebige Winkelteilungen
Die Strecke CD muss den Winkel bei C nicht unbedingt halbieren. Teilt sie ihn in die Winkel γ₁ und γ₂, gilt allgemein:
|AC| · sin(γ₁) / (|BC| · sin(γ₂)) = |AD| / |DB|.
Dabei bezeichnet sin den Sinus eines Winkels. Der gewöhnliche Winkelhalbierendensatz ist ein Spezialfall dieser Gleichung: Für γ₁ = γ₂ sind auch sin(γ₁) und sin(γ₂) gleich. Die beiden Sinuswerte kürzen sich, sodass die Gleichung |AC| / |BC| = |AD| / |DB| entsteht.
Beweis über Flächenverhältnisse
Die verallgemeinerte Aussage lässt sich beweisen, indem man das Verhältnis der Flächeninhalte der durch CD gebildeten Teildreiecke △ADC und △DBC auf zwei Arten berechnet.
Beide Teildreiecke haben als Grundseiten AD beziehungsweise BD und dieselbe zu AB gehörende Höhe h. Mit der Flächenformel ½gh ergibt sich:
|△ADC| / |△DBC| = (½ · |AD| · h) / (½ · |BD| · h) = |AD| / |BD|.
Daneben kann man die Flächenformel ½ab · sin(γ) verwenden. Sie berechnet den Flächeninhalt aus zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel. Für die beiden Teildreiecke folgt:
|△ADC| / |△BDC| = (½ · |AC| · |CD| · sin(γ₁)) / (½ · |BC| · |CD| · sin(γ₂)) = |AC| · sin(γ₁) / (|BC| · sin(γ₂)).
Da beide Rechnungen dasselbe Flächenverhältnis beschreiben, müssen ihre Ergebnisse gleich sein:
|AC| · sin(γ₁) / (|BC| · sin(γ₂)) = |AD| / |BD|.
Damit ist die verallgemeinerte Verhältnisgleichung bewiesen.
Außenwinkelhalbierende
Eine entsprechende Aussage gilt für eine Außenwinkelhalbierende. Sie halbiert einen Außenwinkel des Dreiecks. Schneidet die Außenwinkelhalbierende bei C die Verlängerung der gegenüberliegenden Seite AB im Punkt F, dann gilt:
|FB| / |FA| = |CB| / |CA|.
Auch diese Aussage ist umkehrbar: Liegt F auf der Verlängerung von AB und gilt |FB| / |FA| = |CB| / |CA|, dann ist CF die Außenwinkelhalbierende bei C.
Bei einem nicht gleichschenkligen Dreieck schneidet jede der drei Außenwinkelhalbierenden die Verlängerung der jeweils gegenüberliegenden Seite. Sind E, D und F die Schnittpunkte der Außenwinkelhalbierenden bei A, B und C, gelten die Verhältnisse:
• |EB| / |EC| = |AB| / |AC| • |FB| / |FA| = |CB| / |CA| • |DA| / |DC| = |BA| / |BC|
Außerdem liegen D, E und F auf einer gemeinsamen Geraden; sie sind also kollinear.
Historischer Hinweis
Der Winkelhalbierendensatz steht bereits in Euklids „Elementen“, Buch VI, Proposition 3. Nach Thomas L. Heath formulierte Robert Simson die entsprechende Aussage für die Außenwinkelhalbierende. Augustus de Morgan schlug vor, die Aussagen über Innen- und Außenwinkelhalbierende zu einem einzigen Satz zu verbinden.