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Kartesisches Blatt
Die Fläche, die von der Kurve und der Asymptote begrenzt wird und sich ins Unendliche erstreckt, hat denselben Flächeninhalt 3 2 a 2 {\displaystyle {\tfrac …
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Grundidee und Definition
Das kartesische Blatt, auch cartesisches Blatt oder folium cartesii genannt, ist eine ebene algebraische Kurve 3. Ordnung. Es ist nach dem französischen Mathematiker und Philosophen René Descartes benannt.
Eine algebraische Kurve ist eine Kurve, die durch eine Gleichung mit Potenzen der Koordinaten beschrieben wird. In kartesischen Koordinaten, also mit x- und y-Achse, ist das kartesische Blatt für eine reelle Zahl a durch die Gleichung x^3 + y^3 - 3axy = 0 definiert.
Weitere Darstellungen
Das kartesische Blatt kann auch durch eine Parameterdarstellung beschrieben werden. Dabei werden x und y nicht direkt durch eine Gleichung miteinander verknüpft, sondern beide Koordinaten werden mithilfe eines Parameters t angegeben:
x = 3at / (1 + t^3) y = 3at^2 / (1 + t^3)
Der Parameter t durchläuft dabei ganz R, also alle reellen Zahlen.
In Polarkoordinaten wird ein Punkt nicht durch x und y beschrieben, sondern durch den Abstand r vom Ursprung und den Winkel φ. In dieser Darstellung lautet die Gleichung des kartesischen Blattes:
r = (3a cos φ sin φ) / ((cos φ)^3 + (sin φ)^3).
Wichtige Eigenschaften
Für die beschriebenen Eigenschaften wird vorausgesetzt, dass die Koordinatenachsen so liegen wie in der Skizze des Artikels.
Das kartesische Blatt ist achsensymmetrisch zur Winkelhalbierenden des 1. und 3. Quadranten, also zur Geraden y = x. Genau zwei Punkte der Kurve liegen auf dieser Symmetrieachse: der Ursprung und der Scheitel mit den Koordinaten (3/2 a | 3/2 a).
Der Ursprung ist ein Doppelpunkt der Kurve. Das bedeutet, dass sich dort zwei Kurvenzweige treffen. Die x-Achse und die y-Achse sind im Ursprung die jeweiligen Tangenten, also Geraden, die die Kurve dort berühren.
Die Gerade x + y + a = 0 ist eine Asymptote der Kurve. Eine Asymptote ist eine Gerade, der sich eine Kurve immer weiter annähert.
Für beide Kurvenzweige beträgt der Krümmungsradius im Ursprung 3/2 a. Die Schleife des kartesischen Blattes schließt eine Fläche mit dem Inhalt 3/2 a^2 ein. Außerdem hat die Fläche, die von der Kurve und der Asymptote begrenzt wird und sich ins Unendliche erstreckt, denselben Flächeninhalt 3/2 a^2.
Historische Bedeutung
Die Kurve wurde zuerst im Jahr 1638 von Descartes vorgeschlagen. Sie spielte eine wichtige Rolle bei der Entwicklung der Infinitesimalrechnung.
Descartes stellte Fermat die Aufgabe, für einen beliebigen Punkt der Kurve die Tangente zu bestimmen, weil Fermat eine Methode für solche Probleme entdeckt hatte. Fermat löste die Aufgabe mit Leichtigkeit, während Descartes dies nicht gelungen war. Mit der Infinitesimalrechnung lässt sich die Tangentensteigung einer implizit gegebenen Kurve durch implizite Differentiation bestimmen.