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Nebendiagonale
In der Mathematik bestehen die Nebendiagonalen einer Matrix aus den Matrixelementen, die auf einer gedachten diagonalen Linie parallel zur Hauptdiagonale liegen …
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Begriff und Grundidee
Nebendiagonalen einer Matrix bestehen aus Matrixelementen, die auf einer gedachten diagonalen Linie parallel zur Hauptdiagonale liegen. Diese Linien verlaufen von links oben nach rechts unten. Gelegentlich werden auch die Gegendiagonalen einer Matrix als „Nebendiagonalen“ bezeichnet.
Für einen Matrixeintrag a_{i,j} gilt: Er gehört zu einer Nebendiagonale, wenn die Differenz aus Spaltenindex und Zeilenindex konstant und ungleich null ist, also j − i = k mit k ≠ 0. Die Hauptdiagonale entspricht k = 0 und wird nicht zu den Nebendiagonalen gezählt.
Nummerierung und Lage
Die Zahl |k| gibt die Nummer der Nebendiagonale an. Für k = ±1 spricht man von den ersten Nebendiagonalen, für k = ±2 von den zweiten Nebendiagonalen und so weiter.
Nebendiagonalen mit k < 0 heißen untere Nebendiagonalen; sie liegen unterhalb der Hauptdiagonale. Nebendiagonalen mit k > 0 heißen obere Nebendiagonalen; sie liegen oberhalb der Hauptdiagonale.
Beispiel einer Matrix
Für die Matrix A = (4 3 2 1; 5 4 3 2; 6 5 4 3; 7 6 5 4)
bestehen die beiden ersten Nebendiagonalen aus den Elementen 3, 3, 3 und 5, 5, 5. Die beiden zweiten Nebendiagonalen enthalten 2, 2 und 6, 6. Die beiden dritten Nebendiagonalen bestehen jeweils aus einem Element: 1 beziehungsweise 7.
Die Nebendiagonalen mit den kleineren Elementen sind die oberen, die mit den größeren Elementen die unteren Nebendiagonalen.
Matrizen und Anwendungen
Nebendiagonalen beschreiben wichtige Besetzungsmuster von Matrizen:
- In einer Diagonalmatrix sind die Einträge auf allen Nebendiagonalen gleich null.
- In einer Bidiagonalmatrix sind alle Einträge außerhalb der Hauptdiagonale und einer der beiden ersten Nebendiagonalen gleich null.
- In einer Tridiagonalmatrix sind alle Einträge außerhalb der Hauptdiagonale und der beiden ersten Nebendiagonalen gleich null.
- In einer Pentadiagonalmatrix sind alle Einträge außerhalb der Hauptdiagonale, der beiden ersten und der beiden zweiten Nebendiagonalen gleich null.
- Allgemein sind bei einer Bandmatrix alle Einträge außerhalb der Hauptdiagonale und der Nebendiagonalen ab einer bestimmten Nummer gleich null.
Bei einer Dreiecksmatrix sind entweder alle oberen oder alle unteren Nebendiagonalen mit ihren Einträgen gleich null. Bei einer Hessenbergmatrix sind die oberen Nebendiagonalen ab der zweiten oder die unteren Nebendiagonalen ab der zweiten gleich null.
In einer symmetrischen Matrix stimmen die Nebendiagonalen gleicher Nummer jeweils überein. Eine Matrix, bei der die Einträge auf der Hauptdiagonale und auf allen Nebendiagonalen konstant sind, heißt Toeplitz-Matrix.
Bei der Regel von Sarrus wird die Determinante einer (3×3)-Matrix mithilfe der Hauptdiagonalen, zweier Nebendiagonalen und dreier Gegendiagonalen einer um die ersten beiden Spalten erweiterten Matrix berechnet. Die erste obere Nebendiagonale spielt außerdem eine wichtige Rolle in der jordanschen Normalform einer Matrix.