Taylor-Formel

Kernidee und Taylorpolynom

Die Taylor-Formel ist ein Satz der Analysis. Sie beschreibt, wie man eine genügend oft differenzierbare Funktion in der Nähe einer Stelle a durch ein Polynom annähern kann. Dieses Polynom heißt Taylorpolynom; die Annäherung heißt Taylor-Näherung. Die Methode ist nützlich, weil komplizierte analytische Ausdrücke durch Polynome kleinen Grades oft gut ersetzt werden können, zum Beispiel in Naturwissenschaften, Technik oder bei geodätischen Netzen. Die Kleinwinkelnäherung des Sinus ist ein Beispiel für eine nach dem ersten Glied abgebrochene Taylorreihe.

Die Grundidee beginnt mit der Tangente. Für eine differenzierbare Funktion f ist die lineare Näherung an der Stelle a T_1 f(x;a)=f(a)+f'(a)(x-a). Sie stimmt bei x=a mit f im Funktionswert und in der ersten Ableitung überein. Der Fehler oder Rest ist R_1 f(x;a):=f(x)-T_1 f(x;a), und es gilt lim_{x→a} R_1 f(x;a)/(x-a)=0.

Für zweimal differenzierbares f verbessert man die Näherung durch ein quadratisches Polynom, die Schmiegparabel: T_2 f(x;a)=f(a)+f'(a)(x-a)+1/2 f''(a)(x-a)^2. Sie stimmt bei a zusätzlich in der zweiten Ableitung mit f überein, und der Rest erfüllt lim_{x→a} R_2 f(x;a)/(x-a)^2=0.

Allgemein verlangt man für ein Polynom n-ten Grades, dass Funktionswert und Ableitungen bis zur n-ten Ordnung an der Stelle a übereinstimmen. Daraus ergibt sich T_n f(x;a)=f(a)+f'(a)/1! (x-a)+f''(a)/2! (x-a)^2+...+f^{(n)}(a)/n! (x-a)^n, oder kurz T_n f(x;a)=Σ_{k=0}^n f^{(k)}(a)/k! · (x-a)^k. Für den Rest R_n f(x;a)=f(x)-T_n f(x;a) gilt bei n-mal differenzierbarem f lim_{x→a} R_n f(x;a)/(x-a)^n=0.

Taylorformel mit Restglied

Sei I⊂R ein Intervall und f:I→R eine (n+1)-mal stetig differenzierbare Funktion. Dann ist das n-te Taylorpolynom an der Entwicklungsstelle a∈I definiert durch T_n f(x;a)=Σ_{k=0}^n f^{(k)}(a)/k! · (x-a)^k. Die Zeichen f', f'', ..., f^{(k)} bezeichnen die erste, zweite bis k-te Ableitung.

Das Integralrestglied lautet R_n f(x;a)=∫_a^x ((x-t)^n/n!) f^{(n+1)}(t) dt.

Die Taylor-Formel mit Integralrestglied besagt für alle a und x aus I: f(x)=T_n f(x;a)+R_n f(x;a) =Σ_{k=0}^n f^{(k)}(a)/k! · (x-a)^k + ∫_a^x ((x-t)^n/n!) f^{(n+1)}(t) dt.

Der Beweis erfolgt durch vollständige Induktion über n. Für n=0 ist die Aussage genau der Fundamentalsatz der Analysis: f(x)=f(a)+∫a^x f'(t) dt. Der Induktionsschritt von n auf n+1 benutzt partielle Integration und zeigt, dass T{n+1}f(x;a)+R_{n+1}f(x;a)=T_n f(x;a)+R_n f(x;a)=f(x).

Qualitative Form und Fehlerabschätzung

Die qualitative Taylorformel beschreibt, wie schnell der Fehler gegen 0 geht, wenn x gegen a strebt. Ist f n-mal differenzierbar, dann gilt f(x)=T_n f(x;a)+o(|x-a|^n), x→a. Das Symbol o gehört zur Landau-Notation und bedeutet hier: Der Fehler ist im Vergleich zu |x-a|^n vernachlässigbar klein.

Ist f sogar (n+1)-mal stetig differenzierbar, kann man mit dem Lagrange-Restglied stärker abschätzen: f(x)=T_n f(x;a)+O(|x-a|^{n+1}), x→a. Das Symbol O bedeutet: Der Fehler ist höchstens von der Größenordnung |x-a|^{n+1}. Daraus folgt anschaulich: Je näher x bei a liegt, desto besser nähert das Taylorpolynom T_n f(x;a) die Funktion f an.

Neben dem Integralrestglied gibt es weitere Restgliedformen. Das Schlömilch-Restglied lautet für eine natürliche Zahl p mit 1≤p≤n+1: R_n f(x;a)= f^{(n+1)}(ξ)/(p·n!) · (x-ξ)^{n+1-p}(x-a)^p, wobei ξ zwischen a und x liegt. Für p=1 erhält man das Cauchy-Restglied: R_n f(x;a)= f^{(n+1)}(ξ)/n! · (x-ξ)^n(x-a). Für p=n+1 erhält man das Lagrange-Restglied: R_n f(x;a)= f^{(n+1)}(ξ)/(n+1)! · (x-a)^{n+1}. Bei dieser Darstellung muss die (n+1)-te Ableitung nicht stetig sein.

Mit dem Lagrange-Restglied kann man Fehler abschätzen. Liegt (a-r,a+r) im Definitionsbereich I und gilt |f^{(n+1)}(x)|≤M_n für alle x∈(a-r,a+r), dann gilt für alle x in diesem Intervall: |R_n f(x;a)|≤M_n · |x-a|^{n+1}/(n+1)! ≤ M_n · r^{n+1}/(n+1)!.

Sinus, Kosinus und typische Näherungen

Eine wichtige Anwendung sind Näherungsformeln für trigonometrische Funktionen. Das Argument wird dabei im Bogenmaß angegeben.

Für f(x)=sin(x) gilt f'(x)=cos(x), f''(x)=-sin(x), f'''(x)=-cos(x), f''''(x)=sin(x). Das 4. Taylorpolynom der Sinusfunktion an der Entwicklungsstelle 0 ist T_4 sin(x;0)=x-x^3/6. Da f^{(5)}(x)=cos(x), lautet das Lagrange-Restglied R_4 sin(x;0)=cos(ξ)/120 · x^5, wobei ξ zwischen 0 und x liegt. Wegen |cos(ξ)|≤1 folgt |T_4 sin(x;0)-sin(x)|≤|x|^5/120. Für x zwischen -π/4 und π/4 liegt die relative Abweichung von T_3 sin(x;0) zu sin(x) unter 0,5 %. Weil f''''(0)=0 ist, gilt hier T_3 sin(x;0)=T_4 sin(x;0). Außerdem wird die Abschätzung |T_4 sin(x;0)-sin(x)|≤x^4/24 angegeben, die bei sehr großen x genauer ist.

Für den Kosinus hat das vierte Taylorpolynom an der Entwicklungsstelle 0 im Horner-Schema die Form cos(x)≈T_4 cos(x;0)=((x^2/12)-1)·x^2/2+1. Für x zwischen -π/4 und π/4 liegt die relative Abweichung |(T_4 cos(x;0)-cos(x))/cos(x)| unter 0,05 %.

Auch Tangens und Kotangens können damit näherungsweise berechnet werden: tan(x)∼t(x)=T_3 sin(x;0)/T_4 cos(x;0) mit einer relativen Abweichung unter 0,5 % für |x|<π/4. Für cot(x)∼1/t(x) gilt dieselbe relative Abweichung; t ist dabei kein Taylorpolynom des Tangens. Höhere Taylorpolynome liefern bei Bedarf genauere Näherungen.

Mehrdimensionale Taylorformel

Die Taylor-Formel lässt sich auf Funktionen mehrerer Variablen verallgemeinern. Sei f:R^d→R eine (n+1)-mal stetig differenzierbare Funktion, seien x=(x_1,...,x_d), a=(a_1,...,a_d)∈R^d und h=x-a. Man betrachtet die eindimensionale Hilfsfunktion F:R→R mit F(t)=f(a+th). Mit der Multiindex-Notation D^α für partielle Ableitungen und |α| für die Ordnung der Ableitung erhält man das mehrdimensionale Taylorpolynom T_n f(x;a)=Σ_{|α|=0}^n ((x-a)^α/α!) D^α f(a).

Für das zweite Taylorpolynom einer skalarwertigen Funktion in mehr als einer Variable gibt es die kompakte Form T_2 f(x;a)=f(a)+∇f(a)^T(x-a)+1/2 (x-a)^T H_f(a)(x-a). Dabei ist ∇f(a) der Gradient, also der Vektor der ersten partiellen Ableitungen, und H_f(a) die Hesse-Matrix, also die Matrix der zweiten partiellen Ableitungen. Dieses zweite Taylorpolynom heißt Schmiegquadrik.

Das mehrdimensionale Integralrestglied ist R_n f(x;a)=(n+1)∫0^1 Σ{|α|=n+1} ((1-t)^n (x-a)^α/α!) D^α f(a+th) dt. Damit gilt wie im eindimensionalen Fall f(x)=T_n f(x;a)+R_n f(x;a).

Auch Schlömilch-, Lagrange- und Cauchy-Restglieder lassen sich mehrdimensional formulieren. Für ein θ∈[0,1] lautet zum Beispiel das Lagrange-Restglied R_n f(x;a)=Σ_{|α|=n+1} ((x-a)^α D^α f(a+θh))/α!. Aus Abschätzungen mit der Norm ||x-a|| folgt die mehrdimensionale qualitative Taylorformel: f(x)=T_n f(x;a)+O(||x-a||^{n+1})=T_{n+1}f(x;a)+o(||x-a||^{n+1}) für x→a.

Beispiel und weitere Verallgemeinerung

Als mehrdimensionales Beispiel wird die Funktion f:{(x_1,x_2)∈R^2, x_2<1}→R, (x_1,x_2)↦exp(x_1-x_2)·log(1-x_2) um den Punkt a=(1,0) entwickelt. Gesucht ist ein Taylorpolynom zweiten Grades, also die Schmiegquadrik. Wegen |α|≤2 werden die Multiindizes (0,0), (1,0), (0,1), (2,0), (1,1) und (0,2) berücksichtigt. Mit dem Satz von Schwarz gilt für die gemischten zweiten Ableitungen ∂²f/(∂x_1∂x_2)(a)=∂²f/(∂x_2∂x_1)(a).

Die benötigten Werte sind ∂f/∂x_1(a)=0, ∂f/∂x_2(a)=-e, ∂²f/∂x_1²(a)=0, ∂²f/(∂x_1∂x_2)(a)=∂²f/(∂x_2∂x_1)(a)=-e, ∂²f/∂x_2²(a)=e. Daraus folgt f(x)≈-e x_1 x_2 + 1/2 e x_2². Dasselbe Ergebnis erhält man mit der Darstellung über Gradient und Hesse-Matrix: ∇f(a)=(0,-e)^T und H_f(a)=((0,-e),(-e,e)).

Die Taylor-Formel kann außerdem auf Operatoren zwischen Banachräumen verallgemeinert werden. Seien X,Y Banachräume, U⊂X offen und nichtleer, f:U→Y ein (k+1)-fach Fréchet-differenzierbarer Operator, a∈U und h∈X mit a+th∈U für alle t∈[0,1]. Dann gilt f(a+h)=f(a)+Σ_{j=1}^k 1/j! · D^j f(a)(h,...,h)+R_{k+1}(a,h). Dabei ist D^j f(a) die j-te Fréchet-Ableitung, also eine stetige j-Linearform auf X mit Werten in Y. Das Restglied wird über Funktionale des Dualraums beschrieben und folgt aus der eindimensionalen Taylor-Formel, der Kettenregel für Fréchet-Ableitungen und dem Satz von Hahn-Banach.