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Zissoide des Diokles
Die Zissoide des Diokles (auch: Kissoide des Diokles) ist eine spezielle Kurve 3. Ordnung, die von dem griechischen Mathematiker Diokles (um 200 v.
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Bedeutung und Grundidee
Die Zissoide des Diokles, auch Kissoide des Diokles, ist eine spezielle Kurve 3. Ordnung. Sie wurde vom griechischen Mathematiker Diokles um 200 v. Chr. beschrieben, um das Problem der Würfelverdoppelung, auch delisches Problem genannt, zu lösen. Diese Konstruktionsaufgabe lässt sich nicht allein mit Zirkel und Lineal ausführen.
Die Kurve kann geometrisch über einen Kreis mit Radius a beschrieben werden: S liegt auf dem Kreis. Die gegenüber von S an den Kreis gelegte Tangente wird betrachtet. Für einen Punkt P der Zissoide schneidet die Gerade SP den Kreis in K und die Tangente in A. Dann gilt als kennzeichnende Eigenschaft: Die Strecken SP und KA sind gleich lang.
Gleichungen
In kartesischen Koordinaten lautet die Gleichung:
y²(2a − x) − x³ = 0.
Eine Parametergleichung ist:
x = 2at²/(1 + t²), y = 2at³/(1 + t²).
In Polarkoordinaten kann die Zissoide durch mehrere gleichwertige Ausdrücke beschrieben werden:
r = 2a/cos(φ) − 2a cos(φ) = 2a sin(φ) tan(φ) = 2a sin²(φ)/cos(φ).
Weitere Eigenschaften
Die Gerade x = 2a ist eine Asymptote der Kurve. Eine Asymptote ist eine Gerade, der sich ein Kurvenast immer weiter annähert.
Die von Zissoide und Asymptote begrenzte Fläche besitzt den Flächeninhalt 3πa².
Außerdem entsteht die Zissoide als Fußpunktkurve einer Parabel, wenn deren Scheitelpunkt als Bezugspunkt gewählt wird. Eine Fußpunktkurve entsteht aus den Lotfußpunkten, die von einem Bezugspunkt auf zugehörige Geraden gefällt werden.