Implizite Fläche

Begriff und Darstellungsformen

Eine implizite Fläche ist eine Fläche im euklidischen Raum, die durch eine Gleichung der Form F(x,y,z)=0 beschrieben wird. Sie besteht also aus allen Nullstellen einer Funktion F von drei Variablen. „Implizit“ bedeutet, dass die Gleichung nicht nach x, y oder z aufgelöst ist.

Davon unterscheidet man explizite Flächen als Funktionsgraphen z=f(x,y) sowie Parameterdarstellungen (x(s,t),y(s,t),z(s,t)). Bei einer expliziten Darstellung ist der Wechsel besonders einfach: z=f(x,y) entspricht implizit z-f(x,y)=0 und parametrisiert (s,t,f(s,t)). Für kompliziertere Flächen ist eine Parameterdarstellung oft nicht leicht anzugeben.

Ist F(x,y,z) ein Polynom in x, y und z, heißt die zugehörige Fläche algebraisch. Implizite Flächen sind schwer zu visualisieren, ermöglichen aber theoretisch interessante Flächen und lassen sich im CAD-Bereich mit vorhersehbarer Gestalt und Eigenschaften erzeugen.

Beispiele und lokale Auflösung

Beispiele sind die Ebene x+2y-3z+1=0, die Kugel x²+y²+z²-4=0 und der Torus (x²+y²+z²+R²-a²)²-4R²(x²+y²)=0.

Weitere Beispiele sind eine Fläche vom Geschlecht 2: 2y(y²-3x²)(1-z²)+(x²+y²)²-(9z²-1)(1-z²)=0, und die Rotationsfläche x²+y²-(ln(z+3,2))²-0,02=0. Die letzte Fläche ist nicht algebraisch.

Unter gewissen Voraussetzungen zeigt der Satz über implizite Funktionen, dass sich eine implizite Fläche lokal explizit darstellen lässt. Praktisch gelingt eine solche Auflösung meist nur bei einfachen Fällen wie Ebene oder Kugel. Theoretisch ist sie wichtig, weil sie die Berechnung von Tangentialebenen und Krümmungen in einem Flächenpunkt ermöglicht.

Tangentialebene, Normalen und Krümmung

Für die Formeln wird die Fläche durch F(x,y,z)=0 beschrieben; F muss die erforderlichen Differenzierbarkeitsvoraussetzungen erfüllen. Partielle Ableitungen werden beispielsweise mit F_x, F_y und F_z bezeichnet.

Ein Flächenpunkt (x₀,y₀,z₀) ist regulär, wenn (F_x(x₀,y₀,z₀),F_y(x₀,y₀,z₀),F_z(x₀,y₀,z₀)) ≠ (0,0,0) gilt. Andernfalls ist er singulär. In einem regulären Punkt lautet die Tangentialebene: F_x(x₀,y₀,z₀)(x-x₀)+F_y(x₀,y₀,z₀)(y-y₀)+F_z(x₀,y₀,z₀)(z-z₀)=0.

Ein Normalenvektor ist n(x₀,y₀,z₀)=(F_x(x₀,y₀,z₀),F_y(x₀,y₀,z₀),F_z(x₀,y₀,z₀))ᵀ. Die Normalkrümmung, also die Krümmung in Richtung eines Einheitstangentenvektors v, ist κ_n=(vᵀH_Fv)/‖grad F‖. Dabei ist H_F die Hessematrix, also die Matrix der zweiten Ableitungen von F.

Konstruktionen und Anwendungen

Implizite Flächen lassen sich durch algebraische Operationen wie Addition und Multiplikation einfacher impliziter Funktionen erzeugen.

Bei Punktladungen q_i an den Punkten p_i=(x_i,y_i,z_i) wird das Potential im Punkt p=(x,y,z), bis auf Konstanten, durch F_i(x,y,z)=q_i/‖p-p_i‖ beschrieben. Die Äquipotentialfläche zum Potential c ist F_i(x,y,z)-c=0; sie ist eine Kugel mit Mittelpunkt p_i. Für vier Punktladungen lautet das Gesamtpotential F(x,y,z)=q₁/‖p-p₁‖+q₂/‖p-p₂‖+q₃/‖p-p₃‖+q₄/‖p-p₄‖. Im dargestellten Beispiel sind alle vier Ladungen 1, liegen bei (±1,±1,0), und die Fläche ist F(x,y,z)-2,8=0.

Konstante Abstandsproduktflächen bestehen aus Punkten, für die das Produkt der Abstände zu vorgegebenen Punkten konstant ist. Ein Beispiel verwendet F(x,y,z)=√((x-1)²+y²+z²)·√((x+1)²+y²+z²)·√(x²+(y-1)²+z²)·√(x²+(y+1)²+z²); die Fläche ist F(x,y,z)-1,1=0.

Metamorphosen, Approximation und Darstellung

Eine Metamorphose verbindet zwei implizite Flächen F₁(x,y,z)=0 und F₂(x,y,z)=0 zu einer Flächenschar F(x,y,z)=μF₁(x,y,z)+(1-μ)F₂(x,y,z)=0 mit μ∈[0,1]. Im Beispiel werden eine Abstandsproduktfläche und ein Torus für μ=0, 0,33, 0,66 und 1 dargestellt.

Glatte Approximationen von drei sich schneidenden Tori erhält man mit F(x,y,z)=F₁(x,y,z)·F₂(x,y,z)·F₃(x,y,z)-c=0. Dabei unterscheiden sich die drei Torusgleichungen durch die verwendeten Koordinatenpaare: F₁ enthält x²+y², F₂ x²+z² und F₃ y²+z². Für die abgebildete Fläche gelten R=1, a=0,2 und c=0,01.

Zur Visualisierung gibt es vor allem zwei Verfahren: Bei der Triangulation wird die Fläche durch Polygone angenähert und überdeckt. Beim Raytracing untersucht man viele Sehstrahlen darauf, ob und wo sie die Fläche schneiden. Triangulierte Flächen können anschließend etwa mit PovRay weiterverarbeitet werden. Das PovRay-Bild der drei Tori verwendet eine Zentralprojektion.