Hyperreelle Zahl – einfach erklärt

Begriff und Bedeutung

Hyperreelle Zahlen sind der zentrale Zahlenbereich der Nichtstandardanalysis. Ihre Menge wird meist mit {}^{*}\mathbb{R} bezeichnet. Sie erweitert die reellen Zahlen \mathbb{R} um infinitesimale Zahlen, die von null verschieden, aber kleiner als jede positive reelle Zahl sein können, sowie um infinite beziehungsweise unendlich große Zahlen.

Dadurch lassen sich Differential- und Integralrechnung ohne den üblichen Grenzwertbegriff formulieren. Abraham Robinson zeigte in den 1960er Jahren, wie infinitesimale und unendlich große Zahlen streng formal definiert werden können. Die dargestellte Konstruktion ist eine vereinfachte, von Tom Lindstrøm angegebene Version.

Grundlegende Struktur

Die hyperreellen Zahlen bilden einen geordneten Körper, der \mathbb{R} als Teilkörper enthält. Ein geordneter Körper besitzt Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division durch Zahlen ungleich null sowie eine mit diesen Rechenoperationen verträgliche Ordnung. Sowohl \mathbb{R} als auch {}^{*}\mathbb{R} sind reell abgeschlossen.

{}^{*}\mathbb{R} wird so konstruiert, dass es zu \mathbb{R} elementar äquivalent ist: Jede über \mathbb{R} wahre Aussage gilt auch über {}^{*}\mathbb{R}, sofern sie sich in der Prädikatenlogik erster Stufe mit der Signatur \{0,1,+,-,\cdot,<\} ausdrücken lässt. Die Signatur legt die erlaubten Symbole fest. In erster Stufe darf man über einzelne Zahlen, aber nicht über beliebige Teilmengen quantifizieren. Beispiele für übertragbare Aussagen sind

• \forall x\;\exists y\;x<y, • \forall x\;x<x+1, • jede Zahl größer oder gleich null besitzt eine Quadratwurzel: \forall x\,((x>0\lor x=0)\rightarrow(\exists y\;x=y\cdot y)).

Trotzdem sind \mathbb{R} und {}^{*}\mathbb{R} nicht isomorph. In {}^{*}\mathbb{R} gibt es etwa ein \omega, das größer als jede natürliche Zahl ist. Diese Eigenschaft erfordert unendlich viele Aussagen wie 1<\omega, 1+1<\omega, 1+1+1<\omega, … und kann daher nicht durch eine einzelne Aussage der genannten Sprache ausgedrückt werden.

Ein weiterer Unterschied betrifft die Ordnungsvollständigkeit. In \mathbb{R} besitzt jede nichtleere, nach oben beschränkte Teilmenge ein Supremum, also eine kleinste obere Schranke. {}^{*}\mathbb{R} ist nicht ordnungsvollständig: Die Menge aller endlichen hyperreellen Zahlen ist beispielsweise durch \omega beschränkt, besitzt aber kein Supremum. Ordnungsvollständigkeit verlangt eine Aussage über alle Teilmengen und gehört daher nicht zur Prädikatenlogik erster Stufe.

Beide Zahlenmengen haben dieselbe Mächtigkeit: |{}^{*}\mathbb{R}|=|\mathbb{R}|=2^{\aleph_0}.

Konstruktion mit Folgen und Ultrafilter

Ausgangspunkt ist die Menge \mathbb{R}^{\mathbb{N}} aller Folgen reeller Zahlen. Eine reelle Zahl wird mit ihrer konstanten Folge identifiziert, beispielsweise 1=(1;1;1;\dotsc). Ein Prototyp einer unendlich großen Zahl ist \omega=(1;2;3;4;\dotsc).

Addition und Multiplikation werden gliedweise definiert. Damit wird \mathbb{R}^{\mathbb{N}} zu einem kommutativen unitären Ring, aber noch nicht zu einem Körper, denn er besitzt Nullteiler. Für p=(1;0;1;0;\dotsc) und q=(0;1;0;1;\dotsc) gilt beispielsweise p\cdot q=0, obwohl weder p noch q null ist.

Deshalb werden geeignete Folgen als gleichwertig identifiziert. Dazu verwendet man einen freien Ultrafilter \mathcal U auf \mathbb N. Ein Filter ist eine Menge von Teilmengen der natürlichen Zahlen mit folgenden Eigenschaften: Die leere Menge gehört nicht dazu; mit zwei enthaltenen Mengen enthält er auch deren Schnitt; mit einer Menge enthält er auch jede ihrer Obermengen. Ein Filter heißt frei, wenn er keine endlichen Mengen enthält. Er heißt Ultrafilter, wenn er zu jeder nicht enthaltenen Teilmenge deren Komplement enthält. Die Existenz eines freien Ultrafilters folgt aus dem Lemma von Zorn.

Zwei Folgen werden durch (x_0,x_1,\dotsc)\sim(y_0,y_1,\dotsc) genau dann als äquivalent erklärt, wenn \{n\in\mathbb N\mid x_n=y_n\}\in\mathcal U. Die hyperreellen Zahlen sind die Äquivalenzklassen {}^{*}\mathbb{R}:=\mathbb{R}^{\mathbb{N}}/{\sim}. Addition und Multiplikation werden über Repräsentanten definiert. Die Filtereigenschaften sichern, dass dies wohldefiniert ist; die Ultrafiltereigenschaft bewirkt, dass jedes Element außer null ein multiplikatives Inverses besitzt. Von den Folgen p und q ist daher eine äquivalent zu null und die andere zu eins.

Die Ordnung wird entsprechend festgelegt: (x_0,x_1,\dotsc)<(y_0,y_1,\dotsc) genau dann, wenn \{n\in\mathbb N\mid x_n<y_n\}\in\mathcal U. Sie ist eine totale Ordnung. Insbesondere ist die Klasse von \omega größer als jede reelle Zahl r, weil \{n\in\mathbb N\mid n>r\}\in\mathcal U. Die elementare Äquivalenz zu \mathbb R wird anschließend durch Induktion über den Aufbau der Formeln bewiesen.

Jedem Ultrafilter entspricht ein maximales Ideal des Folgenrings, weshalb der Quotient ein Körper ist. Ein nichtfreier Ultrafilter würde dagegen einen zum Ausgangskörper isomorphen Körper ergeben. Die Konstruktion ist ein Spezialfall einer Ultrapotenz; die Einbettung von \mathbb R ist elementar und {}^{*}\mathbb R ist \omega_1-saturiert. Aus ZFC zusammen mit der Kontinuumshypothese folgt zudem, dass verschiedene gewählte Ultrafilter isomorphe Ultraprodukte liefern.

Infinitesimale, infinite und endliche Zahlen

Eine hyperreelle Zahl heißt infinitesimal, wenn sie kleiner als jede positive reelle Zahl und größer als jede negative reelle Zahl ist. Null ist die einzige reelle Zahl mit dieser Eigenschaft, in {}^{*}\mathbb R gibt es aber weitere Beispiele. So ist a=(1;0{,}1;0{,}01;0{,}001;\dotsc) größer als null und kleiner als jede positive reelle Zahl. Entsprechend ist -a=(-1;-0{,}1;-0{,}01;-0{,}001;\dotsc) negativ infinitesimal.

Eine hyperreelle Zahl x heißt endlich, wenn eine natürliche Zahl n mit -n<x<n existiert; andernfalls heißt sie unendlich. Beispielsweise ist A=(1;10;100;1000;\dotsc) infinit. „Unendlich groß“ meint gewöhnlich eine Zahl, die größer als jede natürliche Zahl ist. „Unendlich“ umfasst zusätzlich negative Zahlen wie -A=(-1;-10;-100;\dotsc), die kleiner als jede ganze Zahl sind. Für x\ne0 gilt: x ist genau dann unendlich, wenn 1/x infinitesimal ist; im Beispiel ist A=1/a.

Jede endliche hyperreelle Zahl x liegt infinitesimal nahe bei genau einer reellen Zahl \operatorname{st}(x). Diese heißt Standardteil; x-\operatorname{st}(x) heißt Nichtstandardteil. Für endliche x,y gelten

• \operatorname{st}(x+y)=\operatorname{st}(x)+\operatorname{st}(y), • \operatorname{st}(xy)=\operatorname{st}(x)\operatorname{st}(y), • \operatorname{st}(x)=x genau dann, wenn x reell ist, • \operatorname{st}(1/x)=1/\operatorname{st}(x), falls x nicht infinitesimal ist.

Die endlichen hyperreellen Zahlen bilden daher einen Unterring, und die Standardteilabbildung ist ein Ringhomomorphismus. Bezüglich der Ordnungstopologie ist sie stetig und sogar lokal konstant.

Ein typisches Beispiel ist g=(0;0{,}9;0{,}99;0{,}999;\dotsc). Es gilt g<1, zugleich ist g größer als jede reelle Zahl kleiner als 1. Somit ist g zu 1 infinitesimal benachbart, \operatorname{st}(g)=1, und sein Nichtstandardteil ist g-1=-a. Davon zu unterscheiden ist die reelle Zahl 0{,}999\dotso, die als Grenzwert der Folge g gleich 1 ist.

Ordnung und Topologie

Die Ordnung der hyperreellen Zahlen hat überabzählbare Kofinalität: Es gibt keine abzählbare unbeschränkte Menge und damit keine Folge, die beliebig große hyperreelle Zahlen erreicht. Sind Repräsentanten einer Folge hyperreeller Zahlen gegeben, so liefert der Repräsentant A mit A_n=\max_{i\le n}a_{in} eine obere Schranke. Die hyperreellen Zahlen sind deshalb nicht archimedisch angeordnet.

Die Ordnung erzeugt eine Ordnungstopologie, in der sich Begriffe wie Grenzwert und Stetigkeit definieren lassen. Zusammen mit der Addition bilden die hyperreellen Zahlen eine topologische Gruppe. Die daraus entstehende uniforme Struktur erlaubt außerdem Begriffe wie gleichmäßige Stetigkeit und Cauchyfilter.

Durch Betrachtung der Kehrwerte folgt aus der überabzählbaren Kofinalität, dass keine Folge von null verschiedenen hyperreellen Zahlen beliebig nahe an null gelangen kann; Entsprechendes gilt an jeder anderen hyperreellen Zahl. Die Topologie erfüllt daher beide Abzählbarkeitsaxiome nicht und ist insbesondere nicht metrisierbar. Außerdem ist sie nicht separabel. Weil zahlreiche Mengen kein Supremum besitzen, ist der Raum total unzusammenhängend und nicht lokalkompakt.