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Heisenbergsche Unschärferelation
Die Unschärferelation kann als Ausdruck des Wellencharakters der Materie betrachtet werden. Sie wurde 1927 von Werner Heisenberg entdeckt und gilt als eine der …
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Grundidee und Bedeutung
Die Heisenbergsche Unschärferelation, auch Unbestimmtheitsrelation, ist eine grundlegende Aussage der Quantenphysik. Zwei komplementäre Eigenschaften eines Quantensystems können nicht gleichzeitig scharf definierte Werte besitzen. Das wichtigste Beispiel sind Ort und Impuls desselben Teilchens. Für das Produkt ihrer Unschärfen gibt es eine universelle untere Grenze, die durch die Planck-Konstante bestimmt ist.
Dies ist keine Folge ungenauer oder verbesserungsfähiger Messgeräte, sondern eine prinzipielle Eigenschaft der Quantenmechanik: Es gibt für kein Quantensystem einen Zustand, in dem zwei komplementäre Größen gleichzeitig exakt festgelegt sind. Die Relation kann als Ausdruck des Wellencharakters der Materie verstanden werden. Werner Heisenberg entdeckte sie 1927; sie ist eine Grundlage der Kopenhagener Deutung der Quantenmechanik.
Die Quantenmechanik macht meist Wahrscheinlichkeitsaussagen über Messergebnisse. Wiederholte Messungen an gleichartigen Systemen im gleichen Zustand ergeben daher im Allgemeinen eine Häufigkeitsverteilung von Messwerten. Zeigt eine Messung jedoch einen bestimmten Wert, muss eine unmittelbar folgende Wiederholung denselben Wert liefern: Die erste Messung hat den Zustand entsprechend verändert. Jede Messung erfordert zudem eine Wechselwirkung mit dem Messapparat. Bei Quantensystemen ist deren Einfluss oft nicht vernachlässigbar, anders als bei idealisierten klassischen Messungen.
Ort, Impuls und Alltag
Heisenberg untersuchte 1927 die gleichzeitige Messung von Ort x und Impuls p. Eine genaue Ortsmessung stört im Allgemeinen den Impuls unkontrollierbar. Soll etwa ein Elektron optisch beobachtet werden, muss Licht auf es treffen und mindestens ein Lichtquant in Auge oder Mikroskop abgelenkt werden. Die Ortsunschärfe Δx hat dabei ungefähr die Größenordnung der Lichtwellenlänge. Die Ablenkung wirkt durch Comptonstreuung wie ein Stoß und verändert den Impuls um Δp.
Heisenbergs symbolische Abschätzung lautete: Δx · Δp ≈ h. Das Produkt kann also nicht kleiner als die Planck-Konstante h sein. Diese ursprüngliche Formulierung war qualitativ, da sie aus einem Beispiel abgeleitet wurde und Δx sowie Δp nicht exakt definiert waren. Earle Hesse Kennard bewies wenig später streng die Relation σx · σp ≥ ħ/2. σx und σp sind dabei die Standardabweichungen, also statistische Streuungen der möglichen Orts- und Impulsmesswerte; ħ = h/(2π).
Die Wirkung der Relation wird bei kleinen Teilchen deutlich. Bei einer Radarkontrolle mit Δx = 2 m, Δv ≈ 0,3 m/s und m = 1000 kg ist Δp = 300 kg·m/s und Δx · Δp = 9 · 10^35 h. Die Unschärferelation wäre erst bei je 18 zusätzlichen Dezimalstellen Genauigkeit für Ort und Geschwindigkeit bedeutsam. Für ein Staubkorn mit m = 10^-15 kg, Δx = 10^-8 m und Δv = 10^-3 m/s ergibt sich 1,5 · 10^7 h; hier wären je vier zusätzliche Dezimalstellen nötig.
Ein Elektron in einem Atom zeigt dagegen die quantenphysikalische Grenze: Bei etwa 10 eV kinetischer Energie und Δx = 10 Å ergibt sich Δx · Δp = 2,5 h. Bei Δx = 1 Å ergäbe sich 0,25 h, was der Unschärferelation widerspricht und daher prinzipiell unmöglich ist.
Verschiedene Aussagen und Streuungsrelation
Unter dem Unschärfeprinzip werden drei verwandte, aber physikalisch unterschiedliche Aussagen zusammengefasst: Ein Quantensystem kann nicht so präpariert werden, dass Ort und Impuls beliebig genau bestimmt sind; beide Größen können nicht gleichzeitig beliebig genau gemessen werden; und eine Impulsmessung stört zwangsläufig den Ort, beziehungsweise umgekehrt. Quantitativ setzen Unschärferelationen eine untere Grenze für ein Produkt minimal erreichbarer Unschärfen.
Die bekannteste mathematische Form ist die Streuungsrelation σx · σp ≥ ħ/2. Die Streuungen folgen aus den Wellenfunktionen ψ(x) für den Ort und φ(p) für den Impuls. Beide Wellenfunktionen sind durch eine Fourier-Transformation verbunden. Ein räumlich begrenztes Wellenpaket hat deshalb im Impulsraum eine entsprechende Breite. Minimaler Unschärfe entsprechen gaußförmige Wellenfunktionen, bei denen Gleichheit gilt. Die Standardabweichung ist dabei nicht gleich der gesamten Breite einer Verteilung; ein Bereich mit 95 % Wahrscheinlichkeit ist etwa viermal so groß.
Unschärferelationen gelten auch für andere Größen, wenn der Kommutator ihrer Operatoren nicht null ist. Ein Kommutator beschreibt die Differenz der Reihenfolgen zweier Operatoren: [Â, B̂] = ÂB̂ − B̂Â. Experimentell wurde eine entsprechende Relation etwa für Winkelstellung und Drehimpuls nachgewiesen.
Spaltversuch sowie Messrauschen und Störung
Beim Gedankenexperiment mit einem Einfachspalt trifft ein breiter Elektronenstrahl mit gleichem Impuls auf einen Spalt der Breite Δx. Nach dem Durchtritt ist die Ortskoordinate quer zum Spalt nur bis auf Δx bekannt. Gleichzeitig wird der Strahl gebeugt: Die einzelnen Elektronen werden um unterschiedliche Winkel α abgelenkt. Mit der De-Broglie-Beziehung λ = h/p und den Bedingungen Δx sin(α) ≳ λ sowie p sin(α) ≤ Δp für Teilchen im Hauptmaximum folgt Δx · Δp ≳ h.
Diese Heisenberg-Relation betrifft Präparation und Messprozess anders als die Kennard-Relation. Bei σx · σp ≥ ħ/2 werden die beiden Streuungen an unterschiedlichen Stichproben gemessen; deshalb handelt es sich nicht um simultane Messungen. Für Teilchen, die in einem endlichen Ortsintervall Δx präpariert sind, gilt außerdem σp · Δx ≥ π · ħ. Gaußförmige Verteilungen können diese Grenze nicht erreichen, weil sie auf der ganzen reellen Achse ungleich Null sind und nicht auf ein endliches Spaltintervall beschränkt bleiben.
Bei einer Ortsgleichverteilung im Spalt gilt σx² = (Δx)²/12, aber σp² = ∞. Dann ist eine Relation mit diesen Standardabweichungen nur trivial. Daher können andere Streumaße sinnvoll sein. Die Gesamtbreite Wα(ψ) ist die kleinste Intervalllänge, in der die Aufenthaltswahrscheinlichkeit α liegt. Für α > 0,5 gilt Wα(φ) · Wα(ψ) ≥ (2α − 1)² · h. Beim Einfachspalt ist beispielsweise Wα(ψ) = α · Δx. Für andere Situationen, etwa den Doppelspalt, müssen die Streumaße an die physikalischen Bedingungen angepasst werden.
Die Ozawa-Ungleichung berücksichtigt den Messapparat ausdrücklich: εx · ηp + εx · σp + σx · ηp ≥ ħ/2. εx ist das Messrauschen, also die mittlere Abweichung zwischen dem Ort vor der Wechselwirkung und dem angezeigten Wert; ηp ist die mittlere Veränderung des Impulses im Messgerät. σx und σp sind die reinen Quantenfluktuationen. Unter zusätzlichen Annahmen wurde εx · ηp ≥ ħ/2 gefolgert. Da dabei der am Ende angezeigte Impulswert nicht berücksichtigt wird und keine simultane Messung im heisenbergschen Sinn vorliegt, kann εx · ηp auch kleiner als ħ/2 sein; einige Autoren folgerten daraus, Heisenberg habe geirrt. Das zugrunde liegende Konzept wurde 2012 mit Neutronenspins und polarisierten Photonen experimentell verifiziert.
Allgemeine Relation und Anwendungen
Howard P. Robertson verallgemeinerte 1929 Kennards Relation. Für zwei Observablen A und B gilt:
σA · σB ≥ 1/2 |⟨ψ|[Â, B̂]|ψ⟩|.
 und B̂ sind selbstadjungierte lineare Operatoren, die zu den Observablen gehören. Die rechte Seite ist der Betrag des Erwartungswerts ihres Kommutators. Der Beweis verwendet Zustände |f⟩ = ( − ⟨Â⟩)|ψ⟩ und |g⟩ = (B̂ − ⟨B̂⟩)|ψ⟩, die Schwarzsche Ungleichung σA²σB² ≥ |⟨f|g⟩|² sowie die Abschätzung eines komplexen Betrags durch seinen Imaginärteil. Die Differenz ⟨f|g⟩ − ⟨g|f⟩ wird zum Erwartungswert ⟨ψ|[Â,B̂]|ψ⟩; nach dem Wurzelziehen ergibt sich die Relation.
Bei Ort und Impuls gilt [x,p] = iħ; daraus folgt erneut σx · σp ≥ ħ/2, unabhängig von der Wellenfunktion. Sind Operatoren vertauschbar, gibt es gemeinsame Eigenzustände, in denen beide Größen streuungsfrei bestimmt sind; die Observablen heißen kompatibel, kommensurabel oder verträglich. Bei nicht vertauschbaren Operatoren kann die Robertson-Schranke für besondere Zustände dennoch null sein. Solche Paare sind nicht stets komplementär, sondern können inkommensurabel sein.
Weitere Beispiele sind: Für kinetische Energie T = p²/(2m) und Ort gilt σT · σx ≥ (ħ/2) · |⟨p̂⟩|/m. Für Gesamtenergie H = T + V in einem ortsabhängigen Potential gilt wegen [H,p] = −iħ · V′ die Relation σH · σp ≥ (ħ/2)|⟨V′(x̂)⟩|. Für ein freies Teilchen ist x̂(t) = x̂(0) + p̂t/m und daher σx(0) · σx(t) ≥ (ħ/2) · t/m. Bei t = 0 verschwindet die untere Schranke. Die minimale Breite einer Tunnelbarriere für ein Elektron bei Potentialdifferenz U lässt sich abschätzen durch σx ≥ ħ/√(8·me·e·U); bei 100 mV ergibt sich etwa 0,3 nm.
