Mathematisches Pendel

Grundidee und Modell

Das mathematische Pendel oder ebene Pendel ist ein idealisiertes Pendel. Es besteht aus einer punktförmig gedachten Masse, die an einer masselosen Pendelstange an einem festen Punkt aufgehängt ist und sich in einer vertikalen Ebene bewegt. Reibungseffekte, besonders Luftwiderstand, werden vernachlässigt. Weil der Pendelkörper auf einem vertikalen Kreis läuft, wird es auch Kreispendel genannt. Es ist ein Spezialfall des Kugelpendels, das sich auch in andere Raumrichtungen bewegen kann.

In der Praxis nähert man dieses Modell durch einen möglichst langen, dünnen Stab oder bei Auslenkungen unter 90° durch einen dünnen Faden und einen möglichst kleinen, schweren Pendelkörper an. Wenn die Amplitude erst nach vielen Schwingungen merklich abnimmt, ist die Reibung nur gering. Pendel, die diese Voraussetzungen nicht erfüllen, beschreibt man besser mit dem Modell des physikalischen Pendels.

Wichtig ist: Die Schwingungsdauer hängt nicht von der Masse des Pendelkörpers ab. Bei kleinen Schwingungen ist sie außerdem nahezu unabhängig von der Amplitude. Dann verhält sich das Pendel fast wie eine harmonische Schwingung, deren Schwingungsdauer nur von der Pendellänge l und der Schwerebeschleunigung g bestimmt wird. Je näher die Amplitude an 180° kommt, desto größer wird die Schwingungsdauer; im Grenzfall wird sie unendlich. Ist die Bewegungsenergie größer als die zum Erreichen der oberen instabilen Lage nötige Energie, bewegt sich der Pendelkörper periodisch im Kreis.

Kräfte und Bewegungsgleichung

Die Rückstellkraft des Pendels ist der tangentiale Anteil der Gewichtskraft. Für die Gewichtskraft gilt F_G = mg. Bei einem Auslenkungswinkel φ wirkt tangential zur Kreisbahn die Kraft F_tan(t) = -mg · sin(φ(t)). Das Minuszeichen zeigt an, dass die Rückstellkraft immer zur Ruhelage hin gerichtet ist.

Da das mathematische Pendel nur einen Freiheitsgrad besitzt, reicht eine Gleichung für den Winkel φ. Die radiale Komponente der Gewichtskraft spielt für die Bewegung entlang der Kreisbahn keine Rolle, weil sie in Richtung des Fadens wirkt. Nach dem 2. Newtonschen Gesetz gilt m · a_tan(t) = F_tan(t). Die Tangentialbeschleunigung kann durch die Winkelbeschleunigung ausgedrückt werden: a_tan(t) = l · φ¨(t).

Einsetzen und Kürzen der Masse ergibt die nichtlineare Differentialgleichung zweiter Ordnung: φ¨(t) + (g/l) · sin(φ(t)) = 0. Nichtlinear bedeutet hier, dass der Winkel in der Funktion sin(φ) vorkommt und die Gleichung deshalb nicht wie eine einfache lineare Schwingung lösbar ist.

Mit der Winkelgeschwindigkeit ω lässt sich dieselbe Bewegung als System zweier gekoppelter Differentialgleichungen erster Ordnung schreiben: φ˙ = ω und ω˙ = -(g/l) sin φ. Eine weitere Beschreibung ist in kartesischen Koordinaten möglich. Dabei gilt wegen der konstanten Pendellänge die Zwangsbedingung x² + y² - l² = 0. Die entsprechende Vektordifferentialgleichung enthält einen Anteil für die Zentripetalbeschleunigung und einen Anteil für die tangentiale Schwerebeschleunigung.

Kleine Amplituden

Für kleine Auslenkungswinkel verwendet man die Kleinwinkelnäherung sin(φ) ≈ φ. Dadurch wird aus der nichtlinearen Pendelgleichung die lineare Differentialgleichung φ¨(t) + (g/l) · φ(t) = 0. Sie entspricht der allgemeinen Form x¨ + ω₀²x = 0 und beschreibt eine harmonische Schwingung.

Die Schwingungsgleichung lautet dann φ(t) = φ_max · sin(√(g/l) · t + α). Dabei ist φ_max die Winkelamplitude und α der Nullphasenwinkel zum Zeitpunkt t = 0. Die Eigenkreisfrequenz ist ω₀ = √(g/l), und die Periodendauer für kleine Amplituden ist T₀ = 2π√(l/g).

Diese Formel zeigt besonders klar, warum bei kleinen Schwingungen die Masse keine Rolle spielt: In T₀ kommen nur l und g vor. Ein längeres Pendel schwingt langsamer, eine größere Schwerebeschleunigung führt zu einer kürzeren Periodendauer.

Exakte und numerische Lösung

Bei realen Auslenkungen ist die Kleinwinkelnäherung nur eine Näherung. Schwingungen mit endlicher Amplitude sind anharmonisch, das Pendel verhält sich also nicht exakt wie ein harmonischer Oszillator. Die exakte Lösung der allgemeinen Differentialgleichung benötigt elliptische Funktionen und elliptische Integrale.

Für maximale Auslenkungen φ_max unterhalb von π ergibt sich die Periodendauer aus der Periodizität der jacobischen elliptischen Funktion cn: T(φ_max) = 4 · K[sin(φ_max/2)] · √(l/g). Dabei ist K ein elliptisches Integral. Die Periode kann auch als Reihe dargestellt werden: T(φ_max) = T₀ · (1 + (1/2)² sin²(φ_max/2) + ((1·3)/(2·4))² sin⁴(φ_max/2) + …). Alternativ lässt sich das elliptische Integral über das arithmetisch-geometrische Mittel M auswerten: T(φ_max) = T₀ · 1/M(1, cos(φ_max/2)).

Auch die exakte Betrachtung bestätigt: Die Periodendauer hängt nicht von der Masse m ab, sondern nur vom Verhältnis l/g und von einem amplitudenabhängigen Zahlenfaktor. Bei einem echten Pendel ist die Dämpfung durch Reibungsverluste größer als null; die Auslenkungen nehmen dann ungefähr exponentiell mit der Zeit ab.

Eine praktische Näherung erhält man durch numerische Integration der beiden Differentialgleichungen erster Ordnung. Beim einfachen expliziten Euler-Verfahren mit Schrittweite h gilt für die Winkelgeschwindigkeit ω_(k+1) = ω_k - (g·h/l) · sin φ_k und für den Winkel φ_(k+1) = φ_k + h · ω_(k+1). Die Anfangswerte tragen den Index k = 0. Die Genauigkeit prüft man, indem man über mehrere Perioden simuliert und die Schrittweite anpasst; in der Physik heißt dies Methode der kleinen Schritte.

Energie und Bewegungsarten

Beim mathematischen Pendel gilt der Energieerhaltungssatz der Mechanik: E_pot + E_kin = konst. Auf dem Weg von der maximalen Auslenkung zur Ruhelage nimmt die potentielle Energie ab, während die kinetische Energie zunimmt. Nach dem tiefsten Punkt wirkt eine Komponente der Gewichtskraft der Bewegung entgegen, und es wird Hubarbeit verrichtet.

Die potentielle Energie ist E_pot = m g l · (1 - cos φ), die kinetische Energie ist E_kin = 1/2 · m · (l φ˙)². Aus der zeitlich konstanten Summe lässt sich wieder die Pendelgleichung φ¨ + (g/l) sin φ = 0 gewinnen. Außerdem ergibt sich für die maximale Geschwindigkeit nach Loslassen beim Winkel φ: v_max = √(2 · g · l · (1 - cos φ)). Diese maximale Geschwindigkeit wird im tiefsten Punkt erreicht, also wenn der Faden senkrecht ist.

Mit E₀ = m · g · l und ω₀ = √(g/l) kann man die Energie als E = (E₀/2)(φ˙/ω₀)² + E₀(1 - cos φ) schreiben. Unter der Annahme φ˙ ≥ 0 folgt daraus eine Differentialgleichung erster Ordnung: φ˙(t) = ω₀√(2(E/E₀ - 1 + cos φ(t))) = 2ω₀√(E/(2E₀) - sin²(φ/2)). Je nach Gesamtenergie entstehen verschiedene Bewegungsarten.

Für E = 0 ruht das Pendel in stabilen Gleichgewichtslagen φ(t) = φ(0) = 2nπ mit n ∈ ℤ. Für E < 0 gibt es keine Lösungen, weil E = 0 das absolute Energieminimum ist. Für 0 < E < 2E₀ reicht die kinetische Energie nicht aus, um die maximale potentielle Energie 2E₀ zu überwinden; das Pendel schwingt zwischen φ_min und φ_max hin und her. Für E > 2E₀ ist die kinetische Energie größer als die maximale potentielle Energie, und das Pendel kann sich überschlagen. Die Überschlagsperiode ist durch φ(t+T) = φ(t) + 2π definiert.

Der Grenzfall E = 2E₀ heißt Separatrix. Dann kann das Pendel gerade die obere instabile Lage erreichen. Für bestimmte Startwerte bleibt es dort in instabilem Gleichgewicht; für andere nähert es sich für t → ±∞ den Fixpunkten bei ±π. Die Schwingungsdauer kann in diesem Grenzfall als T = ∞ angesehen werden, weil K(k) → ∞ für k → 1 gilt.

Phasenraum und Gleichgewicht

Der Zustand des Pendels lässt sich im Phasenraum durch ein Tupel x = (φ, ω) beschreiben, also durch den Winkel φ und die Winkelgeschwindigkeit ω. Der Phasenraum ist bezüglich des Winkels periodisch mit Periode 2π.

Es gibt zwei wichtige Gleichgewichtspunkte: x₁ = (0,0) und x₂ = (π,0). In beiden Punkten sind die Winkelgeschwindigkeit und die Summe aller angreifenden Kräfte und Momente gleich null. Der Punkt x₁ bei Winkel null ist das stabile Gleichgewicht: Das Pendel hängt unten und bewegt sich nicht. Der Punkt x₂ ist das instabile Gleichgewicht: Das Pendel steht ohne Geschwindigkeit „auf dem Kopf“. Schon kleine Störungen führen dort dazu, dass es sich aus dieser Lage entfernt.

Im Phasenraum entsprechen schwingende Pendel mit E < 2E₀ geschlossenen Trajektorien. Lösungen mit E > 2E₀ sind nicht geschlossene, aber 2π-periodische Bewegungen im Winkel. Die Separatrix bei E = 2E₀ trennt diese beiden Arten des Langzeitverhaltens: Hin-und-her-Schwingen und Überschlagen.