Potentielle Energie

Grundidee und Bedeutung

Die potentielle Energie, auch potenzielle Energie oder Lageenergie genannt, ist die Energie eines Körpers in einem physikalischen System, die durch seine Lage in einem Kraftfeld oder durch seine aktuelle mechanische Konfiguration bestimmt wird. Sie ist eine Zustandsgröße: Ihr Wert gehört zum Zustand des Systems, etwa zur Höhe eines Körpers im Schwerefeld oder zur Dehnung einer Feder.

Ein anschauliches Beispiel ist ein Körper im Schwerefeld: Ein Stein in 20 Meter Höhe hat doppelt so viel Arbeitsfähigkeit wie bei 10 Metern Fallhöhe. Beim Fallen nimmt seine potentielle Energie ab und wird in kinetische Energie oder andere Energieformen umgewandelt. Wasserkraftwerke nutzen genau dieses Prinzip: Je größer die gespeicherte Wassermenge eines Stausees und je größer der Höhenunterschied der Staustufe, desto mehr elektrische Energie kann das Kraftwerk liefern.

Die SI-Einheit der potentiellen Energie ist das Joule mit dem Einheitenzeichen J. Als Formelzeichen werden häufig E_pot oder U verwendet; in der theoretischen Physik ist V verbreitet. Der Begriff „Potential“ wird manchmal ungenau benutzt, wenn eigentlich die potentielle Energie gemeint ist.

Potentielle Energie im Schwerefeld

Im Gravitationsfeld hängt die potentielle Energie mit der Höhe eines Körpers zusammen. Bei kleinen Höhenunterschieden nahe der Erdoberfläche kann die Gewichtskraft als ungefähr konstant angesehen werden. Dann gilt für die potentielle Energie:

U_G = F_G h = m g h

Dabei ist m die Masse, g die Schwerebeschleunigung und h die Höhe über dem Boden. Die Bedingung für diese einfache Formel ist, dass h deutlich kleiner ist als der Erdradius, also h << R_E.

Das Prinzip lässt sich am Radfahrer erklären: Auf ebener Strecke besitzt er bei einer bestimmten Geschwindigkeit eine bestimmte kinetische Energie. Fährt er einen Berg hinauf und hält die Geschwindigkeit, muss er zusätzliche Arbeit leisten. Diese zusätzliche Energie wird als potentielle Energie gespeichert. Je höher er steigt, desto größer ist seine potentielle Energie. Fährt er bergab, kann potentielle Energie wieder in kinetische Energie übergehen; ohne Bremsen wird der Radfahrer schneller. Mit Reibungskräften ist die Betrachtung realistischer: Auf ebener Strecke wirken Luftwiderstand und Rollreibung, am Hang kommt eine Komponente der Gewichtskraft hinzu. Beim Anstieg wirkt diese Komponente entgegen der Bewegungsrichtung, beim Abstieg in Bewegungsrichtung.

Allgemeine Beschreibung der Gravitation

Allgemeiner ist die Gravitationsfeldstärke und damit auch die Gewichtskraft ortsabhängig. Die potentielle Energie wird dann über ein Arbeitsintegral beschrieben:

U_G(r) = - ∫ von r_0 bis r F(r') · d r' = - ∫ von r_0 bis r m g(r') · d r'

Das negative Vorzeichen zeigt: Um die potentielle Energie zu erhöhen, muss ein Körper entgegen der wirkenden Kraft bewegt werden. Der Punkt r_0 ist der Bezugspunkt, an dem die potentielle Energie eines Teilchens verschwinden soll. Dieser Bezugspunkt ersetzt die Integrationskonstante. Häufig wählt man dafür die Erdoberfläche oder einen unendlich weit entfernten Punkt.

Für kleine Höhenunterschiede auf der Erdoberfläche ergibt sich aus dem Integral wieder U_G = m g h. Für größere Abstände von einem Planeten reicht diese Näherung nicht aus, weil die Gravitationsfeldstärke vom Abstand r zum Massenmittelpunkt abhängt. Dann verwendet man das Newtonsche Gravitationsgesetz:

F_G(r) = - GMm / r^2 · e_r

Wählt man den Bezugspunkt im Unendlichen, also U_G(r = ∞) = 0, kann die potentielle Energie nur negative Werte annehmen. Auf der Planetenoberfläche ist sie minimal, im Unendlichen maximal. Für einen Planeten mit Masse M und Radius R und ein Probeteilchen der Masse m ergibt sich auf der Oberfläche:

U_min = - GMm / R = - m g R

Dabei ist G die Gravitationskonstante und g = GM / R^2.

Gespannte Feder

Auch eine mechanische Konfiguration kann potentielle Energie enthalten. Ein wichtiges Beispiel ist die gespannte oder zusammengedrückte Feder. Die innere Federkraft, auch Rückstellkraft genannt, lautet:

F(x) = - k x

Dabei ist k die Federkonstante und x die Auslenkung der Feder aus der Ruhelage. Aus dieser Kraft ergibt sich für die potentielle Energie der Feder:

U(x) = - ∫ von 0 bis x F(x') dx' = 1/2 k x^2

Die Formel zeigt: Die gespeicherte Energie wächst quadratisch mit der Auslenkung. Wird die Auslenkung verdoppelt, wird die potentielle Energie nicht nur doppelt, sondern viermal so groß.

Energieerhaltung

In einem abgeschlossenen System ohne Energieaustausch mit der Umgebung und unter Vernachlässigung von Reibung gilt der Energieerhaltungssatz der klassischen Mechanik:

E = T + U = const.

Dabei ist U die potentielle Energie, T die kinetische Energie und E die mechanische Energie. In Worten: Die Summe aus potentieller und kinetischer Energie, einschließlich der Rotationsenergie, bleibt konstant und entspricht der Gesamtenergie des mechanischen Systems.

Das bedeutet nicht, dass potentielle Energie immer gleich bleibt. Sie kann zu- oder abnehmen, etwa wenn ein Körper gehoben wird, fällt oder wenn ein Atom durch Strahlung angeregt wird. Gleichzeitig ändert sich aber eine andere Energieform im gleichen Maß. Beim fallenden Körper nimmt die potentielle Energie ab, während die kinetische Energie zunimmt; mit Reibung oder anderen Wechselwirkungen können auch andere Energieformen wie thermische Energie beteiligt sein.

Im Hamilton-Formalismus wird die Energiebeziehung als H = Σ_k p_k q̇_k - L = T + U geschrieben. Dabei ist H die Hamiltonfunktion und L die Lagrangefunktion.

Formale Definition und Potential

Formal ist potentielle Energie nur für konservative Kraftfelder definiert. Ein konservatives Kraftfeld ist ein Kraftfeld, bei dem die verrichtete Arbeit zwischen zwei Punkten unabhängig vom gewählten Weg ist, solange keine Reibungsverluste oder sonstigen Wechselwirkungen mit der Umgebung auftreten. Die Arbeit entspricht dann der Energieänderung.

Ein konservatives Kraftfeld F(r) kann durch ein skalares Feld U(r) beschrieben werden. Dieses Feld gibt die potentielle Energie am Ort r an. Der Zusammenhang zwischen Kraft und potentieller Energie lautet:

F(r) = - ∇ U(r)

Der Nabla-Operator ∇ beschreibt dabei die räumliche Änderung eines Feldes. Die Umkehrung führt zum Arbeitsintegral:

U(r) = - ∫ dW(r) = - ∫ F(r) · dr

Um die potentielle Energie zu erhöhen, muss Feldarbeit gegen die Kräfte des konservativen Kraftfeldes verrichtet werden. Wird ein Körper senkrecht zu den Feldlinien verschoben, bleibt seine potentielle Energie gleich. Solche Bereiche heißen Äquipotentialflächen oder Äquipotentiallinien; sie entsprechen anschaulich Höhenlinien auf einer Landkarte. Die Feldlinien geben dagegen die Richtung der Steigung an.

Der Nullpunkt der potentiellen Energie ist beliebig festlegbar. Geeignet ist oft der Ausgangspunkt des untersuchten Körpers, im Gravitationsfeld häufig die Erdoberfläche oder der niedrigste Punkt der Umgebung. Man kann den Bezugspunkt auch ins Unendliche legen, also |r| → ∞.

Der Begriff Potential hängt eng mit der potentiellen Energie zusammen. Die potentielle Energie E_pot eines physikalischen Systems ist das Produkt aus einer Kopplungskonstante k des Teilchens und dem Potential φ(r) des Kraftfeldes:

E_pot(r) := k φ(r)

Im Gravitationsfeld ist die Kopplungskonstante die Masse m, daher gilt U_G(r) = m φ_G(r). Im elektrischen Feld ist die Kopplungskonstante die Ladung q. Für eine Ladung in einem elektrischen Feld gilt F_C(r) = q E(r) und daraus U_C(r) = q φ(r), wobei φ das Coulombpotential ist.