Schwingkreis

Grundidee und Resonanz

Ein elektrischer oder elektromagnetischer Schwingkreis, auch Resonanzkreis genannt, ist eine resonanzfähige Schaltung aus einer Spule L und einem Kondensator C. Er kann elektrische Schwingungen ausführen und wird oft mit mechanischen harmonischen Oszillatoren wie Federpendel oder Stimmgabel verglichen. Die Energie pendelt periodisch zwischen dem magnetischen Feld der Spule und dem elektrischen Feld des Kondensators hin und her. Dadurch treten abwechselnd hohe Stromstärke oder hohe Spannung auf.

Für Reihen- und ideale Parallelschwingkreise gilt für die Resonanzfrequenz die Thomsonsche Schwingungsgleichung: f_r = 1/(2π√(LC)). Dabei ist L die Induktivität der Spule und C die Kapazität des Kondensators. Die zugehörige Kreisfrequenz wird häufig als ω_0 = 1/√(LC) geschrieben.

Wird ein Schwingkreis einmalig durch einen Schaltvorgang oder Impuls angestoßen, führt er freie Schwingungen oder Eigenschwingungen aus. In realen Schaltungen klingen sie wegen Verlusten ab. Wird der Schwingkreis dagegen periodisch im Bereich seiner Resonanzfrequenz angeregt, entstehen erzwungene Schwingungen. Die dabei auftretende Resonanz ist für viele Anwendungen entscheidend.

Bei äußerer Anregung unterscheidet man nach der Anordnung zur Quelle zwischen Parallelschwingkreis, bei dem L parallel zu C liegt, und Reihenschwingkreis, bei dem L in Reihe zu C liegt. Ähnliche Schaltungen aus Spule und Kondensator heißen LC-Glieder, müssen aber nicht in Resonanz sein.

Energieaustausch im Schwingkreis

Im ideal ungedämpften Schwingkreis bleibt die Gesamtenergie konstant und wechselt nur ihre Form. Zu Beginn kann der Kondensator geladen sein: Die gesamte Energie steckt dann in seinem elektrischen Feld, die Kondensatorspannung ist maximal und durch die Spule fließt noch kein Strom.

Durch die Kondensatorspannung setzt ein Strom ein. Nach der Lenz’schen Regel induziert die Spule eine Spannung, die der Stromänderung entgegenwirkt. Deshalb steigen Stromstärke und magnetischer Fluss zunächst nur langsam. Während der Strom zunimmt, entlädt sich der Kondensator, und seine Spannung sinkt.

Wenn die Kondensatorspannung null ist, erreichen Strom und magnetischer Fluss ihr Maximum. Die gesamte Energie ist nun im Magnetfeld der Spule gespeichert. Danach fließt der Strom weiter, weil er sich nicht sprunghaft ändern kann. Er lädt den Kondensator mit umgekehrter Polung auf. Dabei sinken Strom und magnetischer Fluss, bis der Strom null wird und die Kondensatorspannung mit umgekehrtem Vorzeichen maximal ist.

Anschließend laufen die Vorgänge in umgekehrter Richtung weiter. Strom und Spannung folgen im ungedämpften Fall Sinus- beziehungsweise Kosinusfunktionen und sind gegeneinander phasenverschoben.

Freie Schwingungen und Dämpfung

Reale Verluste lassen sich näherungsweise durch einen ohmschen Widerstand R beschreiben, der in Reihe mit der Induktivität L liegt. Für den freien RLC-Reihenschwingkreis gilt aus dem Maschensatz u_C + R i + L di/dt = 0 und C du_C/dt = i. Daraus folgt für den Strom die Differentialgleichung LC d²i/dt² + RC di/dt + i = 0 beziehungsweise d²i/dt² + 2δ di/dt + ω_0² i = 0. Dabei ist ω_0 = 1/√(LC) die ungedämpfte Eigenkreisfrequenz und δ = R/(2L) der Dämpfungskoeffizient.

Im verlustfreien Fall R = 0 beziehungsweise δ = 0 entstehen ungedämpfte harmonische Schwingungen: i(t) = -u_C0/(ω_0 L) · sin(ω_0 t) und u_C(t) = u_C0 · cos(ω_0 t). Strom und Kondensatorspannung sind um 90° phasenverschoben.

Bei R ≠ 0 unterscheidet man drei Fälle. Im Schwingfall mit δ < ω_0 treten gedämpfte Schwingungen auf. Ihre Amplituden enthalten den Faktor e^(-δt); die gedämpfte Eigenkreisfrequenz ist ω_d = √(ω_0² - δ²) und liegt unter ω_0. Die Phasenverschiebung ist φ = arctan(δ/ω_d). Dieser Fall gilt als Normalfall der Praxis bei geringen Verlusten.

Im Kriechfall mit δ > ω_0 entsteht keine Schwingung mehr. Strom und Spannung nähern sich umso langsamer dem Wert 0, je größer die Dämpfung ist. Im aperiodischen Grenzfall δ = ω_0 findet ebenfalls keine Schwingung statt; der Ruhezustand wird ohne Überschwingen am schnellsten wieder erreicht.

Die Gesamtenergie ist E = E_C + E_L mit E_C = 1/2 C u_C² und E_L = 1/2 L i². Für den freien Schwingkreis gilt dE/dt = -R i². Bei R = 0 bleibt die Energie konstant, bei R ≠ 0 nimmt sie ab, weil Stromwärme entsteht. Bei schwacher Dämpfung gilt näherungsweise E(t) = E_0 e^(-t/τ) mit der Energierelaxationszeit τ = 1/(2δ).

Erzwungene Schwingungen und Resonanzarten

Bei erzwungenen Schwingungen wird angenommen, dass eine ideale sinusförmige Wechselspannungs- oder Wechselstromquelle so lange wirkt, bis Einschaltvorgänge abgeklungen sind. Man betrachtet dann den stationären oder eingeschwungenen Zustand. Zur Beschreibung werden komplexe Wechselstromrechnung und Zeigerdiagramme verwendet.

Im RLC-Reihenkreis liegen L, C und R in Reihe. Für die Gesamtimpedanz gilt Z̲ = R + j(ωL - 1/(ωC)); der Scheinwiderstand ist Z = √(R² + X²) mit X = ωL - 1/(ωC). Die Phasenverschiebung erfüllt tan φ = (ωL - 1/(ωC))/R. Resonanz liegt vor, wenn X = 0. Dann ist ω_r = ω_0 = 1/√(LC), unabhängig von der Dämpfung. Bei Spannungseinspeisung wird die Stromamplitude im Resonanzfall maximal: i_0(ω_r) = u_0/R.

Nahe der Reihenresonanz können die Effektivwerte der Einzelspannungen an Kondensator und Spule größer sein als die Klemmenspannung U. Dieses Verhalten heißt Spannungsüberhöhung. Bei geringer Dämpfung R < √(L/C) gilt nahe Resonanz U_C/U = U_L/U ≈ Q = (1/R)√(L/C); im Resonanzfall wird daraus exakte Gleichheit. Im verlustfreien Grenzfall R = 0 wird der Strom theoretisch unendlich, es entsteht ein Kurzschluss beziehungsweise eine Resonanzkatastrophe.

Im Parallelschwingkreis liegen C und L parallel. Verluste der Spule werden durch einen Widerstand R_L in Reihe zur Spule modelliert und oft in ein Parallelersatzschaltbild mit G_p = R_L/(R_L² + ω²L²) und L_p = L + R_L²/(ω²L) umgerechnet. Für die Gesamtadmittanz gilt Y̲_p = G_p + j(ωC - 1/(ωL_p)); Resonanz liegt vor, wenn B_p = 0. Die Resonanzfrequenz ist ω_r = 1/√(L_p C) = ω_0√(1 - R_L² C/L). Anders als beim Reihenkreis hängt sie im Allgemeinen vom Verlustwiderstand R_L ab und liegt unter ω_0; bei schwacher Dämpfung gilt näherungsweise ω_r ≈ ω_0.

Bei Parallelresonanz tritt Stromüberhöhung auf: Die Zweigströme durch Spule und Kondensator können größer sein als der Klemmenstrom. Bei schwacher Dämpfung gilt nahe Resonanz I_L/I = I_C/I ≈ Q = (1/R_L)√(L/C). Im Gegensatz zum Reihenkreis ist dies auch im Resonanzfall nur eine Näherung, weil die Resonanzfrequenz des Parallelkreises im Allgemeinen von der Dämpfung abhängt.

Kreisgüte, Abstimmung und Oszillator

Die Verluste realer Schwingkreise, etwa ohmsche Verluste, dielektrische Verluste und Abstrahlung, dämpfen die Schwingung. Ein Maß dafür ist die Kreisgüte Q. Je höher Q ist, desto geringer sind die Verluste und desto stärker können Resonanzüberhöhungen auftreten. Ohne Dämpfung würde die Amplitude bei Resonanz theoretisch unbegrenzt wachsen.

Für freie Schwingungen eines schwach gedämpften Reihenschwingkreises ergibt sich aus der Energiedefinition Q = 2π E/W_V = ω_0 τ = 2π f_0 τ. Die Güte ist damit das 2π-fache der Anzahl der Schwingungen, bis die Energie auf den Bruchteil 1/e gesunken ist. Mit ω_0 = 1/√(LC) und τ = L/R folgt Q = (1/R)√(L/C). Im ungedämpften Idealfall R = 0 ist Q = ∞.

Für erzwungene Schwingungen gilt beim Reihenkreis ebenfalls Q = (1/R)√(L/C). Beim schwach gedämpften Parallelkreis folgt im Resonanzfall mit G_pr = R_L C/L näherungsweise Q = (1/G_pr)√(C/L) = (1/R_L)√(L/C). Für R beziehungsweise R_L gegen 0 strebt Q gegen ∞.

Unter Abstimmung versteht man das Einstellen der Resonanzfrequenz auf einen gewünschten Wert. Beim Reihenkreis hängt sie nur von L und C ab; beim schwach gedämpften Parallelkreis gilt näherungsweise ω_r ≈ 1/√(LC). Die Induktivität L wird durch Geometrie und Füllmaterial der Spule bestimmt, etwa Spulenlänge, Wicklungszahl und Spulenkern. Weichmagnetische Kerne erhöhen die Induktivität gegenüber einer Luftspule, diamagnetische Kerne verringern sie. Die Kapazität C hängt ebenfalls von Geometrie und Material ab, zum Beispiel Plattenabstand, Plattengröße und Dielektrikum.

Ein Schwingkreis, der einmal angestoßen und sich selbst überlassen wird, schwingt in der Nähe seiner Resonanzfrequenz f_0, klingt aber wegen Dämpfung ab. Wird durch eine aktive Verstärkerschaltung, etwa mit einem Transistor, oder durch einen negativen differentiellen Widerstand regelmäßig Energie zugeführt, spricht man von Mitkopplung oder Entdämpfung. So entsteht eine Oszillatorschaltung, zum Beispiel die Meißner-Schaltung.

Bei äußerer Anregung mit schwacher induktiver Kopplung zeigt der Schwingkreis eine Phasenverschiebung zwischen 0° bei sehr tiefen Frequenzen und 180° bei sehr hohen Frequenzen. Bei Resonanz beträgt sie genau 90°. In der Nähe der Resonanzfrequenz ist die Abweichung von 90° fast proportional zur Frequenzabweichung: φ - 90° = k · (f - f_0). Der Faktor k ist größer, wenn die Dämpfung kleiner ist.

Anwendungen und Ersatzschaltungen

Schwingkreise werden vor allem genutzt, weil ihr Scheinwiderstand frequenzabhängig ist. Beim Reihenschwingkreis wird er in der Umgebung der Resonanzfrequenz minimal, beim Parallelschwingkreis maximal. Dadurch kann man aus einem Gemisch verschiedener Frequenzen eine bestimmte Frequenz durchlassen oder unterdrücken.

Als Filter dienen Schwingkreise zum Beispiel in Telefonanlagen, Rundfunkempfängern, Sendeanlagen, Saugkreisen und Sperrkreisen. In älteren Telefonanlagen wurden Sprache und Gebührenimpulse über dieselbe Zweidrahtleitung übertragen; Schwingkreise trennten die Frequenzen. In Rundfunkempfängern werden Parallelschwingkreise auf den gewünschten Sender abgestimmt. Nach Sender-Endstufen können Schwingkreise unerwünschte Oberschwingungen unterdrücken. Saugkreise können störende Frequenzen kurzschließen, etwa einen starken Ortssender vor dem eigentlichen Empfänger.

Bei der Blindstromkompensation wird einem induktiven Verbraucher eine Kapazität parallelgeschaltet oder umgekehrt. Das Zusatzbauteil wird so dimensioniert, dass die Resonanzfrequenz der Netzfrequenz entspricht und ein möglichst hoher Scheinwiderstand entsteht. Dadurch wird Blindstrom verringert, der sonst Quelle und Netz belasten würde.

Bei sehr hohen Frequenzen werden statt echter Schwingkreise oft andere Konstruktionen verwendet, etwa Lecherleitung, Topfkreis, Hohlraumresonator oder Antennendipol. Ihre physikalische Funktion beruht meist auf stehenden Wellen und unterscheidet sich von der Funktion eines Schwingkreises. Trotzdem nutzt man häufig Ersatzschaltbilder aus idealen Schwingkreisbauteilen, um ihr Verhalten vereinfacht und angenähert zu berechnen.

Die Resonanzfrequenz von Schwingkreisen im MHz-Bereich kann mit einem Dipmeter gemessen werden.