Hankel-Transformation

Grundidee und Definition

Die Hankel-Transformation ist eine lineare Integraltransformation aus der Funktionalanalysis. Ihr Kern besteht aus Bessel-Funktionen erster Gattung. Sie wird unter anderem in der Bildverarbeitung zur Korrektur von Abbildungsfehlern und in der Bildanalyse zur Bestimmung der spektralen Leistungsdichte digitaler Bilder makroskopisch homogener Strukturen verwendet.

Für eine komplexwertige Funktion f und eine Ordnung \nu>-\tfrac12 lautet die im Artikel überwiegend verwendete Konvention F_\nu(u)=\operatorname H_\nu\{f(t)\}=\int_0^\infty f(t)J_\nu(ut)t\,\mathrm dt. Falls das Integral existiert, heißt F_\nu die Hankel-Transformierte von f. Die dabei verwendete Bessel-Funktion erster Gattung ist definiert durch J_\nu(x)=\sum_{r=0}^\infty\frac{(-1)^r(\frac{x}{2})^{2r+\nu}}{\Gamma(\nu+r+1)r!}, wobei \Gamma die Gammafunktion ist.

Eine zweite Konvention lautet F_\nu(u)=\int_0^\infty f(t)\sqrt{ut}\,J_\nu(ut)\,\mathrm dt. Auch hier muss das Integral existieren. Bei Formeln und Beispielen ist daher wichtig, welche Konvention benutzt wird.

Umkehrbarkeit und wichtige Eigenschaften

Unter bestimmten Voraussetzungen lässt sich die Ausgangsfunktion aus ihrer Hankel-Transformierten zurückgewinnen. Ist f\in L^1(]0,\infty[), also Lebesgue-integrierbar, und hat f beschränkte Variation, dann gilt f(t)=\operatorname H_\nu^{-1}\{F_\nu(u)\}=\int_0^\infty F_\nu(u)J_\nu(ut)u\,\mathrm du. Die Hankel-Transformation und ihre inverse Transformation sind damit gleich; sie ist eine involutive Abbildung. Für die alternative Definition gilt dies analog.

Eine Grundlage dafür ist die Orthogonalität der Bessel-Funktionen. Für u,u'>0 gilt \int_0^\infty J_\nu(ut)J_\nu(u't)t\,\mathrm dt=\frac{\delta(u-u')}{u}. \delta bezeichnet die Delta-Distribution, also keine gewöhnliche Funktion, sondern ein Funktional mit konzentrierter Wirkung an einer Stelle.

Die Transformation ist besonders nützlich beim Lösen von Differentialgleichungen. Der besselsche Differentialoperator ist B_\nu(f)(r)=\left(r^2\frac{\mathrm d^2}{\mathrm dr^2}+r\frac{\mathrm d}{\mathrm dr}+(r^2-\nu^2)\right)f(r), und für Bessel-Funktionen gilt B_\nu(J_\nu)=0. Mit L_\nu(f)(r)=\frac{B_\nu(f)(r)}{r^2}-f(r)=\left(\frac{\mathrm d^2}{\mathrm dr^2}+\frac1r\frac{\mathrm d}{\mathrm dr}-\nu^2\right)f(r) führt die Hankel-Transformation Ableitungen auf einen einfachen Faktor zurück: \operatorname H_\nu(L_\nu(f))(s)=-s^2\operatorname H_\nu(f)(s). Für \nu=0 stimmt L_\nu mit dem Radialanteil des zweidimensionalen Laplaceoperators in Polarkoordinaten überein.

Zusammenhang mit der Fourier-Transformation

Die Hankel-Transformation kann als zweidimensionale Fourier-Transformation radialsymmetrischer Funktionen verstanden werden. Eine Funktion \phi:\mathbb R^2\to\mathbb C heißt radialsymmetrisch, wenn \phi(r\cos\theta,r\sin\theta) nur von r und nicht vom Winkel \theta abhängt. Man schreibt sie dann als f(r).

Für die Fourier-Transformation \mathcal F(\phi)(\xi_1,\xi_2)=\frac1{2\pi}\int_{\mathbb R^2}\phi(x,y)e^{-i(x\xi_1+y\xi_2)}\,\mathrm d(x,y) erhält man in Polarkoordinaten an der Stelle (s\cos\sigma,s\sin\sigma) \mathcal F(\phi)(s\cos\sigma,s\sin\sigma)=\int_0^\infty rf(r)J_0(sr)\,\mathrm dr. Dies ist die Hankel-Transformation nullter Ordnung von f. Daher kann man zu einer Funktion f:]0,\infty[\to\mathbb C eine passende radialsymmetrische Funktion \phi konstruieren und ihre Hankel-Transformierte mithilfe einer Fourier-Transformation berechnen.

Erweiterung auf Distributionen

Wie die Fourier-Transformation lässt sich auch die Hankel-Transformation auf Distributionen erweitern. Anders als bei der Fourier-Transformation geschieht dies jedoch nicht auf dem Raum der temperierten Distributionen. Stattdessen wird für \nu\in\mathbb R der Testfunktionenraum H_\nu(]0,\infty[) verwendet. Er besteht aus allen glatten Funktionen \phi, für die für alle k,m\in\mathbb N_0 gilt: \sup_{x\in]0,\infty[}\left|x^m\left(\frac1x\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\right)^k\bigl(x^{-\nu-\frac12}\phi(x)\bigr)\right|<\infty. Eine Folge (\phi_j) konvergiert gegen null, wenn derselbe Ausdruck mit \phi_j für alle k und m gegen null konvergiert.

Der topologische Dualraum H_\nu'(]0,\infty[) ist der zugehörige Distributionenraum. Distributionen mit kompaktem Träger in ]0,\infty[, darunter die Delta-Distribution, gehören dazu. Für T\in H_\nu'(]0,\infty[) wird definiert: \operatorname H_\nu(T)(\phi):=T(\operatorname H_\nu(\phi)). Die Transformation wird also nicht direkt auf der Distribution, sondern auf der Testfunktion \phi berechnet. In diesem Zusammenhang wird die Konvention mit \sqrt{ut}J_\nu(ut) verwendet.

Typische Transformationspaare und Fixpunkte

Für die Hankel-Transformation nullter Ordnung enthält die Tabelle unter anderem die Paare 1\longmapsto \delta(u)/u\quad (u\ne0),\qquad \frac1t\longmapsto\frac1u, t\longmapsto-\frac1{u^3},\qquad t^3\longmapsto\frac9{u^5}, und für ungerades m t^m\longmapsto\frac{2^{m+1}\Gamma(m/2+1)}{u^{m+2}\Gamma(-m/2)}. Weitere Beispiele sind \frac1{\sqrt{t^2+z^2}}\longmapsto\frac{e^{-u|z|}}u=\sqrt{\frac{2|z|}{\pi u}}K_{-1/2}(u|z|), \frac1{t^2+z^2}\longmapsto K_0(uz)\quad(z\in\mathbb C), sowie e^{-a^2t^2/2}\longmapsto\frac{e^{-u^2/(2a^2)}}{a^2}. Dabei sind K_n Bessel-Funktionen zweiter Gattung und i die imaginäre Einheit.

Für 1/t folgt direkt \operatorname H_0\left(\frac1t\right)(s)=\int_0^\infty J_0(st)\,\mathrm dt=\frac1s. Die Funktion 1/t ist somit ein Fixpunkt der Hankel-Transformation. Auch die gaußsche Glockenkurve e^{-x^2/2} ist ein Fixpunkt: Sie lässt sich analytisch auf \mathbb C\cong\mathbb R^2 fortsetzen, ist dort radialsymmetrisch und bleibt bei der Fourier-Transformation unverändert.

Für die Delta-Distribution ergibt die Rechnung \operatorname H_0((1/u)\delta_0)=1 im distributionsmäßigen Sinn. Umgekehrt führt das direkte Einsetzen der konstanten Einsfunktion zu einem divergenten Integral; durch Dichtheitsargumente kann die Delta-Distribution dennoch als Hankel-Transformierte der konstanten Einsfunktion aufgefasst werden.