Fourier-Transformation

Grundidee und Definition

Die kontinuierliche Fourier-Transformation ist eine Integraltransformation, die ein aperiodisches Signal oder eine Funktion in ein kontinuierliches Frequenzspektrum zerlegt. Die entstehende Spektralfunktion heißt Fourier-Transformierte. Dadurch wird sichtbar, welche Frequenzen in einem Signal vorkommen und mit welcher Stärke sie vertreten sind. Für periodische Signale dient dagegen die Fourier-Reihe; sie liefert ein diskretes Frequenzspektrum. Soll die Transformation mit einem Computer berechnet werden, verwendet man meist die Diskrete Fourier-Transformation oder die Schnelle Fourier-Transformation.

Für eine integrierbare Funktion f ∈ L¹(ℝⁿ), f: ℝⁿ → ℂ, lautet die symmetrisch normierte Definition

(ℱf)(y) = 1/(√(2π))ⁿ ∫_{ℝⁿ} f(x) e^(−i y·x) dx.

Dabei ist i die imaginäre Einheit, y·x das Standardskalarprodukt und dx das n-dimensionale Volumenelement. Ist auch ℱf integrierbar, erhält man f durch die inverse Transformation zurück:

f(x) = 1/(√(2π))ⁿ ∫_{ℝⁿ} (ℱf)(y) e^(i y·x) dy.

Die Normierung ist in der Literatur nicht einheitlich. In Signalverarbeitung und Theorie der Pseudodifferentialoperatoren wird häufig

(ℱf)(y) = ∫_{ℝⁿ} f(x)e^(−i y·x) dx

verwendet; dann besitzt die Rücktransformation den Vorfaktor 1/(2π)ⁿ. Bei natürlicher Frequenz kann der Faktor 2π in den Exponenten aufgenommen werden:

(ℱf)(y) = ∫_{ℝⁿ} f(x)e^(−2πi y·x) dx,

wobei die Kreisfrequenz ω = 2πy ist. Welche Faktoren in Formeln auftreten, hängt deshalb von der gewählten Konvention ab. Die reelle Form heißt Hartley-Transformation; bei reellen Funktionen kann man außerdem Sinus- und Kosinus-Transformationen verwenden.

Zentrale Rechenregeln und Eigenschaften

Die Fourier-Transformation ist linear:

ℱ(af + bg) = aℱ(f) + bℱ(g).

Sie bildet L¹(ℝⁿ) stetig in C₀(ℝⁿ) ab, den Raum der stetigen Funktionen, die für |x| → ∞ verschwinden. Dieses Verschwinden ist das Lemma von Riemann-Lebesgue. Außerdem gilt

‖ℱf‖{L∞} ≤ 1/(√(2π))ⁿ · ‖f‖{L¹}.

Für eine Schwartz-Funktion f, also eine glatte Funktion, die zusammen mit ihren Ableitungen sehr schnell abfällt, und einen Multiindex α gelten die Differentiationsregeln

D^α(ℱf) = (−i)^|α| ℱ(x^αf), ℱ(D^αf)(ξ) = i^|α| ξ^α(ℱf)(ξ).

Ableitungen werden im Frequenzraum somit zu Multiplikationen mit Potenzen der Frequenz. Dies ist besonders für Differentialgleichungen wichtig.

Die Gauß-Dichte

φ(x) = 1/(2π)^(n/2) · e^(−‖x‖²/2)

ist ein Fixpunkt: (ℱφ)(x) = φ(x). Sie ist also eine Eigenfunktion zum Eigenwert 1. Zweimaliges Transformieren spiegelt eine Schwartz-Funktion:

(ℱ²f)(x) = f(−x).

Ist f ∈ L¹(ℝⁿ) und ℱf ebenfalls integrierbar, gilt die Rücktransformationsformel

f(x) = ℱ⁻¹(ℱf)(x) = 1/(2π)^(n/2) ∫_{ℝⁿ} e^(itx)ℱ(f)(t) dt.

Diese Rückgewinnung heißt Fouriersynthese. Auf dem Schwartz-Raum ist die Fourier-Transformation ein Automorphismus, also eine bijektive Abbildung des Raums auf sich selbst.

Das Faltungstheorem verbindet Faltung und Multiplikation. Für f,g ∈ L¹(ℝⁿ) gilt bei der symmetrischen Normierung

ℱ(f ∗ g) = (2π)^(n/2) ℱ(f)·ℱ(g), ℱ(f) ∗ ℱ(g) = (2π)^(n/2) ℱ(f·g).

Eine Zeitverschiebung g(t−a) erzeugt den Faktor e^(−iaω), eine Frequenzverschiebung e^(iat)g(t) verschiebt G zu G(ω−a), und für eine Skalierung gilt ℱ(g(at))(ω) = G(ω/a)/|a|.

Erweiterte Funktionsräume

Für quadratisch integrierbare Funktionen f ∈ L²(ℝⁿ) wird die Transformation durch einen Grenzwert definiert:

ℱ(f)(ξ) = lim_{r→∞} 1/(2π)^(n/2) ∫_{B_r(0)} f(x)e^(−ixξ) dx.

Der Grenzwert ist im L²-Sinn zu verstehen. B_r(0) ist die Kugel um den Ursprung mit Radius r. Für Funktionen aus L¹ ∩ L² stimmt diese Definition mit der gewöhnlichen Integraldefinition überein. Nach dem Satz von Plancherel ist die Fourier-Transformation ein isometrischer Automorphismus von L²: Sie erhält dort insbesondere die Norm beziehungsweise Energie und ist bezüglich des komplexen L²-Skalarprodukts unitär.

Die Hausdorff-Young-Ungleichung erweitert dies: Für 1 ≤ p ≤ 2, 1/p + 1/q = 1 und f ∈ Lᵖ(ℝⁿ) liegt ℱf in Lᑫ(ℝⁿ), und

‖ℱf‖{Lᑫ} ≤ 1/(2π)^[n(1/p−1/2)] · ‖f‖{Lᵖ}.

Für schwach differenzierbare Funktionen f ∈ W^{k,2}(ℝⁿ) = Hᵏ(ℝⁿ) gilt bei |α| ≤ k weiterhin

ℱ(D^αf)(ξ) = i^|α| ξ^αℱ(f)(ξ).

Auch temperierte Distributionen, also verallgemeinerte Funktionen aus S′(ℝⁿ), können transformiert werden. Für u ∈ S′ wird definiert:

ℱ(u)(φ) := u(ℱ(φ)) für alle φ ∈ S(ℝⁿ).

Auf S′ ist die Transformation stetig und bijektiv. Dadurch lassen sich beispielsweise reine Sinus- und Kosinussignale mithilfe der Delta-Distribution darstellen: e^(iat) wird zu √(2π)δ(ω−a), und cos(at) zu √(2π)[δ(ω−a)+δ(ω+a)]/2. Der Dirac-Kamm bleibt unter der Transformation ein entsprechend skalierter Dirac-Kamm.

Für ein endliches Borel-Maß μ auf ℝⁿ ist die inverse Fourier-Transformierte durch μ̌(x) = ∫e^(ixy) μ(dy) definiert. Die charakteristische Funktion einer Wahrscheinlichkeitsverteilung ist ihre inverse Fourier-Transformierte.

Anwendungen in Technik und Kommunikation

In der Signalanalyse zerlegt die Fourier-Transformation Messsignale in ihre Frequenzanteile. Praktisch kommen dafür die Diskrete beziehungsweise die Schnelle Fourier-Transformation zum Einsatz. Eine technische Anwendung ist die Erzeugung von Bildern durch Magnetresonanztomographie.

Bei der digitalen Datenkompression wird ein Signal in den Frequenzraum übertragen. Für Audiodaten, etwa bei der Erzeugung einer MP3-Datei, nutzt man eine modifizierte diskrete Kosinustransformation, die der schnellen Fourier-Transformation ähnelt. Frequenzen, die Menschen nicht hören können oder die wenig zum subjektiven Klangeindruck beitragen, werden zusammen mit weiteren Datenreduktionen entfernt. Nach der Rücktransformation entsteht wegen des verringerten Frequenzumfangs eine deutlich kleinere Datei. Vergleichbare Verfahren dienen der Kompression von Bildern als JPEG und von Filmen als MPEG-4.

Ein akustisches Beispiel ist der Kammerton ā mit 440 Hz, also 440 Schwingungen pro Sekunde. Eine ideale Stimmgabel erzeugt ein reines Sinussignal. Bei anderen Instrumenten besteht derselbe Ton aus mehreren überlagerten Wellen. Der Grundton hat 440 Hz; die Obertöne besitzen gewöhnlich Frequenzen, die ganzzahlige Vielfache des Grundtons sind. Ihre Zusammensetzung und Amplituden bestimmen die Klangfarbe. In der Fourier-Transformierten lassen sich diese Frequenzanteile direkt erkennen, was etwa die automatische Erkennung von Tonhöhen und Instrumenten ermöglicht.

Typische Spektren und Rechenbeispiel

Ein Wellenpaket kann aus zwei Kosinus-Schwingungen mit f₁ = 2,5 Hz und f₂ = 7 Hz bestehen, die von einer Gauß-Glocke begrenzt werden:

y(t) = (4 cos(2πf₁t) + 2 cos(2πf₂t)) e^[−0,5(t/σ_t)²], σ_t = (2π)^−0,5 s ≈ 0,4 s.

Bei t = 0 beträgt der Funktionswert 4 + 2 = 6. Das Amplitudenspektrum |ℱy|(f) besitzt vier gaußförmige Linien bei ±f₁ und ±f₂ mit σ_f = (2π)^−0,5 Hz ≈ 0,4 Hz. Ein breiteres Paket im Zeitbereich führt zu schmaleren Spektrallinien. Für gaußförmige Hüllkurven gilt stets

σ_tσ_f = (2π)^−1;

bei Verwendung der Kreisfrequenz wäre das Produkt 1. Im beschriebenen Beispiel beträgt die Energie des Wellenpakets etwa 7,07 Joule.

Für eine gedämpfte Schwingung

f(t) = x₀e^(−t/τ)cos(ω_s t)Θ(t)

bezeichnet x₀ die Amplitude, ω_s die Kreisfrequenz, τ die Zeit, in der die Amplitude auf den Faktor 1/e fällt, und Θ(t) die Heaviside-Funktion. Wegen Θ(t) ist die Funktion nur für positive Zeiten ungleich null. Ihre Fourier-Transformierte ist

F(ω) = x₀/√(2π) · (1/τ + iω)/[(1/τ + iω)² + ω_s²].

Wichtige weitere Transformationspaare sind: Eine Gauß-Funktion wird wieder zu einer Gauß-Funktion; insbesondere ist e^(−t²/2) unverändert. Rechteckfunktion und sinc-Funktion mit sinc(x) = sin(πx)/(πx) werden ineinander überführt. Die Transformation von e^(−a|t|), a > 0, ist eine Lorentzkurve.

Lösung partieller Differentialgleichungen

Die Fourier-Transformation vereinfacht bestimmte partielle Differentialgleichungen, weil räumliche Ableitungen im Frequenzraum zu Multiplikationen werden. Für die Wärmeleitungsgleichung

∂u/∂t(x,t) = Δ_xu(x,t), u(x,0) = g(x)

wird nur bezüglich der Ortsvariablen x transformiert. Mit der Differentiationsregel entsteht für jede Frequenz ξ die gewöhnliche Differentialgleichung

∂ℱ(u)/∂t(ξ,t) = −|ξ|²ℱ(u)(ξ,t), ℱ(u)(ξ,0) = ℱ(g)(ξ).

Ihre Lösung lautet

ℱ(u)(ξ,t) = e^(−t|ξ|²)ℱ(g)(ξ).

Nach der Rücktransformation und mit dem Faltungstheorem erhält man die Fundamentallösung

F(x,t) = 1/(2t)^(n/2) · e^(−|x|²/(4t))

und schließlich

u(x,t) = 1/(4πt)^(n/2) ∫_{ℝⁿ} e^[−|x−ξ|²/(4t)]g(ξ)dξ.

Das Beispiel zeigt das Grundverfahren: transformieren, die vereinfachte Gleichung im Frequenzraum lösen und anschließend rücktransformieren.