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Umlaufbahn
Wenn beide Objekte punktförmig angenommen werden und die gegenseitige Anziehungskraft durch das Newtonsche Gravitationsgesetz ungestört zu beschreiben ist, hat …
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Grundidee der Umlaufbahn
Eine Umlaufbahn oder ein Orbit ist in der Astronomie die Bahnkurve, auf der sich ein Objekt aufgrund der Gravitation im freien Fall periodisch um einen Zentralkörper bewegt. Der Umlauf heißt auch Revolution; die benötigte Zeit heißt Umlaufzeit oder Revolutionsperiode.
Im idealen Zweikörperfall werden beide Körper als punktförmig angenommen, und nur ihre gegenseitige Anziehung nach dem newtonschen Gravitationsgesetz wirkt. Dann ist die Bahn eine Ellipse. Das gilt auch für die Mittelpunkte ausgedehnter Körper mit kugelsymmetrischer Massenverteilung. Beschreibt man die Bewegung eines Körpers relativ zum anderen, liegt dieses andere Objekt in einem Brennpunkt der Ellipse. Vom gemeinsamen Massenmittelpunkt aus gesehen bewegen sich beide Körper auf Ellipsen; der Massenmittelpunkt ist jeweils ein Brennpunkt.
Zusätzliche äußere Kräfte oder Abweichungen vom newtonschen Gesetz führen zu Bahnstörungen: Die reale Bahn ist dann keine mathematisch exakte Ellipse.
Zweikörpersystem und Keplerbahnen
Beim Zweikörpersystem werden Einflüsse weiterer Körper vernachlässigt oder nur als kleine Störungen betrachtet. Das ist eine brauchbare Näherung etwa für Erde und Sonne, Mond und Erde beziehungsweise Erde-Mond-Schwerpunkt, Raumflugkörper in Erdumlaufbahn, Planeten, Kometen und Asteroiden um die Sonne, Monde, Doppelsterne, Exoplaneten und die Sonne mit dem Sonnensystem um das Zentrum der Milchstraße.
Die idealen Bahnen heißen Keplerbahnen. Es sind Bahnellipsen mit charakteristischen Umlaufzeiten, die vom mittleren Bahnradius und von den Massen der Objekte abhängen. Bei stark unterschiedlichen Massen behandelt man näherungsweise den massereicheren Körper als Zentralkörper. Der Umlauf findet in einer Bahnebene statt, in der auch das Baryzentrum, also der gemeinsame Massenmittelpunkt, liegt. Der Vektor vom Zentralobjekt zum umlaufenden Objekt heißt Radiusvektor.
Auch im Zweikörpersystem sind nicht alle Bahnen geschlossen oder dauerhaft stabil. Kometenbahnen können langgestreckte Hyperbeln sein; Mehrfachsterne und Asteroiden können instabile Bahnen erreichen. Der Umlauf der Sterne um das galaktische Zentrum ähnelt einer spiraligen Rotation mit einer Periode von 100 bis 300 Millionen Jahren. Tatsächlich sind alle Bahnen instabil; die stärksten Störungen entstehen gewöhnlich durch die Gravitation weiterer Himmelskörper.
Bahnformen, Störungen und Doppelsterne
Johannes Kepler erkannte Anfang des 17. Jahrhunderts bei der Marsbahn, dass Planetenbahnen Ellipsen sind. Aus dem newtonschen Gravitationsgesetz folgt für ein ideales Zweikörpersystem: Bahnen sind Kegelschnitte, also Kreise, Ellipsen, Parabeln oder Hyperbeln. Bewegte Punktmassen im Vakuum lassen sich exakt durch sechs Bahnelemente beschreiben.
Wirkliche Umlaufbahnen weichen von idealen Keplerellipsen ab, weil alle Körper eines Systems einander gravitativ beeinflussen. Bei großen Abständen bleiben die Abweichungen klein. Die Störungsrechnung der Himmelsmechanik modelliert diese Kräfte und berechnet, wie die momentane Keplerellipse oskulierend, also sich an die Bahn anschmiegend, in die nächste Ellipse übergeht. Auch eine ungleichmäßige Massenverteilung, etwa die Abplattung rotierender Planeten, verändert das Gravitationsfeld und damit besonders die Bahnen ihrer Monde. Geringe weitere Änderungen beschreibt die Allgemeine Relativitätstheorie.
Merkur kehrt nach einem Umlauf nicht genau zum Ausgangspunkt zurück: Seine Apsidenlinie dreht sich rechtläufig, sodass eine Rosettenbahn entsteht. Die newtonsche Gravitation erklärt die Periheldrehung nicht vollständig; eine hinreichende Erklärung für ihre Gesamtgröße bei den betroffenen Planeten liefert die Allgemeine Relativitätstheorie. Doppelsterne folgen näherungsweise den keplerschen Gesetzen als zwei Ellipsen um den gemeinsamen Schwerpunkt. Bei Mehrfachsystemen oder sehr engen Sternpaaren ist spezielle Störungsrechnung nötig. Eng kreisende Neutronensterne verlieren durch Gravitationsstrahlung langfristig Energie und stürzen ineinander.
Die Vorstellung von Elektronen auf Keplerbahnen um den Atomkern erwies sich als problematisch: Nach den Maxwellgleichungen müssten sie elektromagnetische Wellen aussenden, Energie verlieren und in Bruchteilen von Sekunden in den Kern stürzen. Dies trug zur Entwicklung der Quantenmechanik bei.
Geschwindigkeit und mögliche Bahnformen
Ein horizontal von einem hohen Turm oder Berg abgeschossenes Projektil veranschaulicht die Entstehung von Orbits, wenn Luftwiderstand zunächst vernachlässigt wird.
- Bei niedriger Abschussgeschwindigkeit folgt es einer Wurfparabel und trifft bald auf den Boden.
- Bei größerer Geschwindigkeit wird der Bogen elliptisch; das Projektil trifft erst nach einem merkbaren Teil des Erdumfangs wieder auf die Oberfläche.
- Bei der ersten kosmischen Geschwindigkeit entsteht ein Kreisorbit. Das Projektil fällt dabei ständig um die Erde herum, statt auf ihr aufzutreffen.
- Bei noch höherer Geschwindigkeit wird die Kreisbahn zu einer elliptischen Umlaufbahn; der Abschusspunkt ist und bleibt der erdnächste Punkt.
- Oberhalb der zweiten kosmischen Geschwindigkeit öffnet sich die Ellipse zu einer Hyperbel. Es entsteht keine Umlaufbahn, weil die kinetische Energie größer ist als die Gravitationsenergie, die die Erde auf das Projektil wirkt.
Niedrige und geostationäre Erdorbits
Ein oberflächennaher oder niedriger Orbit heißt bei der Erde LEO für Low Earth Orbit. Für einen kreisförmigen Zentralkörper und eine Kreisbahn mit nahezu gleichem Radius werden Gewichtskraft und Zentripetalkraft gleichgesetzt. Mit der Gravitationskonstante γ, der mittleren Dichte ρ des Zentralkörpers und seinem Radius r gilt:
G = γ · (mSat · mZ / r²), ρ = mZ / VZ und VZ = 4πr³/3.
Daraus folgt für die Zentripetalbeschleunigung g:
g = γ · ρ · r · 4π/3.
Aus mSat · v²/r = mSat · g ergibt sich die Umlaufgeschwindigkeit
v = √(r · g) = r · √(γ · ρ · 4π/3),
und für die Umlaufzeit
t = 2πr/v = √(3π/(γ · ρ)).
Die Satellitenmasse und -form kürzen sich heraus. Bei einem idealisierten niedrigen Orbit hängt die Umlaufzeit daher, abgesehen von Naturkonstanten, nur von der mittleren Dichte des Zentralkörpers ab, nicht von dessen Radius.
Für die Erde gelten ρErde = 5515 kg/m³, tErde ≈ 5060 s ≈ 84 min ≈ 1,4 h und vErde ≈ 7911 m/s ≈ 28.500 km/h. Als Faustregel dauern niedrige Satellitenorbits etwa 90 Minuten, also ungefähr 16 Umläufe pro Tag. Auf Phobos ergeben sich mit ρPhobos = 1887 kg/m³ tPhobos ≈ 8651 s ≈ 144 min ≈ 2,4 h und vPhobos ≈ 9,1 m/s ≈ 33 km/h. Wegen seiner stark von der Kugelform abweichenden Gestalt sind die Formeln dort jedoch nicht praxistauglich.
In einem mitbewegten lokalen Koordinatensystem heben sich bei einer Erdumlaufbahn Gravitations- und Zentrifugalkraft auf; in Raumfahrzeugen herrscht deshalb Schwerelosigkeit beziehungsweise Mikrogravitation. Die meisten Raumflüge erfolgen einige 100 km über der Erde. Mit dem Abstand zur Erde verändert sich physikalisch bedingt die Bahngeschwindigkeit. Besonders wichtig ist die geostationäre Bahn: Sie liegt in rund 35.800 km Höhe und hat keine Bahnneigung gegen die Äquatorebene. Satelliten erscheinen dort gegenüber der Erdoberfläche unbeweglich; dies wird besonders für Kommunikations- und Wettersatelliten benötigt.
