Schiefe Ebene

Grundprinzip und Bedeutung

Eine schiefe Ebene ist eine ebene Fläche, die gegenüber der Horizontalen geneigt ist. Sie gehört zu den einfachen Maschinen und ermöglicht es, eine Masse mit geringerer Kraft auf eine andere Höhe zu bringen. Dafür wird der zurückgelegte Weg länger; die erforderliche Arbeit bleibt im idealen Fall gleich. Dieses Prinzip liegt auch dem Keil und der Schraube zugrunde.

Typische Beispiele sind Lade-, Fahrrad-, Rollstuhl- und Auffahrrampen sowie Serpentinenstraßen. Sie verteilen einen Höhenunterschied auf eine längere Strecke. Bereits im Altertum dienten Rampen zum Transport schwerer Steine und zum Bau großer Anlagen. Ihre genaue Verwendung beim Pyramidenbau ist nicht endgültig geklärt. Eine erhaltene Erdrampe entstand bei der römischen Belagerung von Masada um 70 n. Chr.

Galileo Galilei verlangsamte mithilfe einer Fallrinne den freien Fall und konnte so zeigen, dass die Geschwindigkeit proportional zur verstrichenen Zeit zunimmt. Simon Stevin zeigte mit einem Ketten-Gedankenexperiment: Bei gleichem Höhenunterschied stehen die Hangabtriebskräfte auf zwei verschieden langen, geneigten Ebenen im umgekehrten Verhältnis zu deren Längen.

Kräfte und statisches Gleichgewicht

Auf einen Körper der Masse m wirkt die Gewichtskraft F_G = m·g. Sie wird in zwei Komponenten zerlegt:

• senkrecht zur Ebene: F_GN = m·g·cos α • parallel zur Ebene: Hangabtriebskraft F_GH = F_H = m·g·sin α

Dabei ist α der Neigungswinkel. An der Kontaktfläche wirken die Normalkraft F_N senkrecht zur Ebene und die Reibungskraft F_R entlang der Ebene. Im statischen Gleichgewicht, also bei einem ruhenden Körper, gelten F_R = F_GH und F_N = F_GN. Der Hangabtrieb muss dabei durch Haftreibung oder eine äußere Haltekraft ausgeglichen werden.

Nach dem Reibungsgesetz gilt F_R ≤ μ_H·F_N, wobei μ_H der Haftreibungskoeffizient ist. Daraus folgt als notwendige Gleichgewichtsbedingung μ_H ≥ tan α. Ist die Ebene zu steil oder die Haftreibung zu klein, beginnt der Körper zu rutschen.

Für kleine Winkel gilt näherungsweise tan α ≈ sin α ≈ α. Bei Blitzeis und einem Reibbeiwert von 0,1 für Gummireifen dürfte eine Straße höchstens um 5,7° beziehungsweise etwa 6 % geneigt sein. Eine maximale Steigung von 6 % schreibt auch DIN 18040-1 für Rampen im öffentlichen Raum vor, damit Rollstuhlfahrer sie aus eigener Kraft benutzen können.

Arbeit und gleichförmige Bewegung

Rollt ein Körper auf einer festen, griffigen Ebene ohne merkliches Gleiten am Berührpunkt, gilt der Energieerhaltungssatz. Für einen vertikalen Höhengewinn h beträgt die Arbeit A = F_G·h. Entlang einer schiefen Ebene der Länge l gilt zugleich A = F_H·l = F_G·h. Daher ist F_H/F_G = h/l.

Dieser Zusammenhang heißt „Goldene Regel der Mechanik“ und wurde von Galilei 1594 so formuliert: „Was man an Kraft spart, muss man an Weg zusetzen“. Eine längere, flachere Strecke erfordert also weniger Hangkraft, spart aber keine Arbeit.

Bei Fahrzeugen gleichen Kräfte an den Rädern den Hangabtrieb aus. Weil sie durch Kraftschluss übertragen werden, muss die Neigung deutlich unter 45° liegen. Die als steilste Straße der Welt bezeichnete Baldwin Street hat eine Neigung von 19,3° und benötigt einen Reibwert von μ = 0,35; unter winterlichen Bedingungen ist sie deutlich zu steil.

Gleiten und beschleunigtes Rollen

Ist die Gleichgewichtsbedingung nicht erfüllt, gleitet ein Körper bei zunächst vernachlässigtem Luftwiderstand gleichmäßig beschleunigt. Unter Einbeziehung der Gleitreibung lautet die Beschleunigung g* = g·sin α − μg·cos α, wobei μ der Gleitreibungskoeffizient ist. Eine dauerhaft zunehmende Geschwindigkeit tritt praktisch nur begrenzt auf, etwa weil beim Skifahren die Fahrtrichtung geändert wird oder bei Radfahrern der Luftwiderstand zunimmt.

Für einen Körper, der ohne Gleiten rollt, gelten v = ω·r und a = ω̇·r. Dabei sind ω die Winkelgeschwindigkeit, r der Radius und ω̇ die Winkelbeschleunigung. Mit dem Trägheitsmoment Θ = m·i² und dem Trägheitsradius i ergibt sich:

ω̇ = g·sin α·r/(i²+r²) a = g·sin α·r²/(i²+r²)

Mit c_F = r²/(i²+r²) folgt a = g·c_F·sin α. Da sin α = h/l gilt, wird die Erdbeschleunigung durch das Verhältnis von Höhe zu Länge und durch die Form des Körpers vermindert. Bei konstanter Beschleunigung gelten v = a·t, s = 1/2·a·t² und t = √(2s/(g·c_F·sin α)). Galileis Messungen bestätigten s₁/s₂ = t₁²/t₂²: Der Weg wächst mit dem Quadrat der Zeit, während die Geschwindigkeit linear zunimmt.

Das Trägheitsmoment hängt von der Massenverteilung ab. Für einen homogenen Vollzylinder gilt Θ = m·r²/2, für einen dünnwandigen Hohlzylinder Θ = m·r². Deshalb rollt ein Hohlzylinder unabhängig von Material und Radius langsamer hinab als ein Vollzylinder. Am Ende der Ebene gilt v = √(2g·c_F·h). Der Formfaktor beträgt für eine Punktmasse 1, einen Vollzylinder 2/3, einen Hohlzylinder 1/2 und eine Kugel 5/7. Galileis 12 Ellen lange Rinne verlängerte den Vorgang bei einer Anhebung um eine Elle, entsprechend 4,8°, auf etwa 5 s.

Einfluss des Luftwiderstands

Der Luftwiderstand steigt quadratisch mit der Geschwindigkeit: F_W = (ρ/2)·c_w·A·v² = k·v². Dabei sind c_w der Widerstandsbeiwert, A die Körperquerschnittsfläche, ρ die Dichte des strömenden Mediums und k eine von Körperform und Medium abhängige Konstante.

Beim Gleiten wirken Hangabtrieb, Reibung und Luftwiderstand. Es gilt m·a = F_H − F_R − F_W beziehungsweise m·v̇ + kv² = mg·(sin α − μcos α). Für tan α > μ und g* = g·(sin α − μcos α) lautet die Lösung v = v_∞·tanh[(g*/v_∞)·t] mit der Endgeschwindigkeit v_∞ = √(m·g*/k). Die Geschwindigkeit nähert sich somit einem Grenzwert, statt unbegrenzt anzusteigen. Für eine Skischanze mit 37° Neigung, μ = 0,03, c_w·A = 0,224 m², g* = 5,67 m/s², k = 0,134 und m = 70 kg ergibt das Modell 196 km/h; Sprungtürme sind nicht darauf ausgelegt, diese Geschwindigkeit zu erreichen.

Beim rollenden Fahrzeug ohne Relativbewegung am Kontaktpunkt gibt es keine Gleitreibung. Dennoch ist eine Kraft nötig, um die Räder in schnellere Drehung zu versetzen. Vereinfacht gilt (m + m_Rad·i²/r²)·v̇ + kv² = mg·sin α. Die Endgeschwindigkeit ist v_∞ = √(m·g·sin α/k). Für Fahrer und Rennrad mit zusammen 80 kg bei 10 % Gefälle ergeben sich bei c_w·A = 0,25 m² in Rennfahrerhaltung 82 km/h; bei normaler Haltung und c_w·A = 0,36 m² sind es 68 km/h.

Die Schraube als aufgewickelte Ebene

Eine Schraube kann als schiefe Ebene betrachtet werden, die um einen Zylinder gewickelt ist. Ihre Steigung h ist der Abstand zwischen den Schraubengängen. Bei einer Drehung um den Winkel φ bewegt sie sich in Längsrichtung um z = (φ/2π)·h; bei einer vollen Umdrehung mit φ = 2π also um h.

Im reibungsfreien Grenzfall entspricht die Arbeit des Drehmoments M der Arbeit der Zugkraft F_t: M·φ = F_t·z. Daraus folgt F_t = (M/h)·2π. Eine kleine Steigung erzeugt bei gleichem Drehmoment eine besonders große Zugkraft: Eine kleinere Tangentialkraft wird in eine größere Kraft entlang der Schraubenachse umgewandelt.

Zwischen Schraube und Mutter wirkt an den Gewindegängen eine Normalkraft. Ihre Tangentialkomponente stellt das Momentengleichgewicht her, ihre Längskomponente spannt die Verbindung. Für die Selbsthemmung ist Reibung erforderlich. Sie wird durch den Wirkungsgrad η berücksichtigt: F_t = η·(M/h)·2π.