Raumkrümmung – einfach erklärt

Grundidee der Raumkrümmung

Raumkrümmung ist eine mathematische Verallgemeinerung der Krümmung von Flächen auf Räume mit drei oder mehr Dimensionen. Aus der vertrauten Euklidischen Geometrie, die ungekrümmte oder „flache“ Räume beschreibt, entsteht dabei eine Beschreibung gekrümmter Mannigfaltigkeiten mit Methoden der nicht-euklidischen Geometrie. Eine Mannigfaltigkeit ist dabei ein Raum, der in kleinen Bereichen wie ein gewöhnlicher Raum aussehen kann, insgesamt aber gekrümmt sein darf.

Wichtig ist: Krümmung bedeutet nicht nur, dass etwas von außen gebogen aussieht. Entscheidend kann auch sein, dass sich die geometrischen Regeln innerhalb des Raums ändern. So können etwa Winkel- oder Umfangsbeziehungen anders sein als in der ebenen Geometrie.

Fläche als anschauliches Modell

Ein einfaches Beispiel ist die Oberfläche einer Kugel. Sie ist eine zweidimensionale Fläche, liegt aber gekrümmt im dreidimensionalen Raum. Jeder Punkt auf der Kugeloberfläche könnte zwar durch drei Raumkoordinaten angegeben werden, oft ist aber eine Beschreibung mit nur zwei Koordinaten einfacher.

Bei der Erdoberfläche geschieht das durch geographische Länge und Breite. Diese beiden Angaben reichen aus, um einen Punkt auf der Oberfläche eindeutig zu bestimmen. Das Beispiel zeigt, dass eine gekrümmte Fläche eine eigene innere Beschreibung haben kann, ohne dass man ständig den umgebenden Raum betrachten muss.

Krümmung in drei Dimensionen

Die Idee der gekrümmten Kugeloberfläche lässt sich formal auf den dreidimensionalen Raum übertragen. Unsere Sinne sind jedoch auf die Wahrnehmung höchstens dreidimensionaler geometrischer Strukturen beschränkt, deshalb ist eine solche Raumkrümmung schwer direkt vorstellbar.

Formal kann man etwa die Krümmung eines dreidimensionalen „Obervolumens“ einer 3-Sphäre beschreiben. Eine 3-Sphäre ist eine Art Kugel im vierdimensionalen Raum; ihr „Rand“ ist dreidimensional. Dabei sind im Allgemeinen alle drei Raumdimensionen gleichermaßen gekrümmt, ähnlich wie bei der Oberfläche einer Kugel beide Flächendimensionen gekrümmt sind.

Innerhalb eines gekrümmten dreidimensionalen Raums könnte man die Krümmung daran erkennen, dass die Achsen eines Koordinatensystems in größerer Entfernung nicht mehr rechtwinklig zueinander verlaufen. Sie könnten zum Beispiel in allen Richtungen beginnen, aufeinander zuzulaufen. Auch Kreisumfänge würden sich anders verhalten: Ein Kreis kann dann einen Umfang haben mit der Beziehung U < 2πr.

Innere Krümmung

Bei Raumkrümmung unterscheidet man zwischen innerer und äußerer Krümmung. Die innere Krümmung lässt sich durch Messungen und geometrische Regeln innerhalb des gekrümmten Raums selbst feststellen. Man muss also nicht von außen auf den Raum blicken.

Ein Beispiel sind Dreiecke auf einer Kugeloberfläche. In der Ebene beträgt die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks immer 180°. Auf einer positiv gekrümmten Kugeloberfläche ist die Innenwinkelsumme größer als 180°. In einem negativ gekrümmten Raum, etwa in der Form eines Rotationshyperboloids wie bei einem Kühlturm eines AKW, ist die Innenwinkelsumme kleiner als 180°.

Die Zuordnung lautet: positive innere Raumkrümmung, auch sphärisch genannt, führt zu einer Innenwinkelsumme > 180°; keine Krümmung, also flach oder eben, führt zu = 180°; negative innere Raumkrümmung, hyperboloid, führt zu < 180°.

Äußere Krümmung und Einbettung

Die äußere Krümmung betrifft die Lage eines Raums in einem umgebenden, höherdimensionalen Raum. Diese Lage nennt man Einbettung. Eine äußere Krümmung kann also nur festgestellt werden, wenn man betrachtet, wie der Raum in einem größeren Raum liegt.

Ein Blatt Papier liefert ein anschauliches Beispiel. Wenn man es aufrollt, wellt oder verbiegt, ohne es zu zerreißen oder zu dehnen, entsteht eine Fläche mit äußerer Krümmung, aber ohne innere Krümmung. Die geometrischen Gesetze auf dem Papier ändern sich dabei nicht. Ein auf das Papier gemaltes Dreieck behält zum Beispiel seine Innenwinkelsumme, auch wenn das Papier aufgerollt wird.

Eindimensionale Räume, also Linien, haben grundsätzlich keine innere Krümmung. Sie können nur dann äußere Krümmung besitzen, wenn sie in einen höherdimensionalen Raum eingebettet sind.

Bedeutung in der Relativitätstheorie

Eine wichtige Anwendung der Raumkrümmung liegt in der Relativitätstheorie Albert Einsteins. Nach heutigem Verständnis werden der dreidimensionale Raum um uns herum und die Zeit gemeinsam beschrieben. In der speziellen Relativitätstheorie, die Gravitation noch nicht enthält, werden Raum und Zeit zu einer vierdimensionalen Raumzeit zusammengefasst. Diese Raumzeit ist gemäß der Minkowski-Metrik nicht gekrümmt, also „flach“.

Die allgemeine Relativitätstheorie geht dagegen von einer Krümmung der Raumzeit aus. Sie kann allein dadurch alle Wirkungen der Gravitation beschreiben. Nach dem Prinzip der kleinsten Wirkung, auch Hamiltonsches Prinzip genannt, bewegt sich ein Körper, auf den keine weiteren Kräfte wirken, in der gekrümmten Raumzeit auf einer Geodätischen Linie. Eine Geodätische ist die entsprechende „geradeste“ mögliche Bahn in einem gekrümmten Raum. In einer nicht gekrümmten Raumzeit entspräche dies der Trägheitsbewegung eines freien Körpers: geradlinig und mit konstanter Geschwindigkeit. Wegen der Krümmung der Raumzeit erscheint diese Bewegung aber räumlich gekrümmt und beschleunigt.

Nach den Einsteinschen Feldgleichungen wird die Krümmung der Raumzeit lokal durch die Verteilung aller Formen von Masse beziehungsweise Energie verursacht. Die Stärke der Krümmung wird dabei so festgelegt, dass sich bestmögliche Übereinstimmung mit dem Newtonschen Gravitationsgesetz ergibt. Die Krümmung der Raumzeit beschreibt damit ein Beschleunigungsfeld, das einerseits von Verteilung und Bewegung von Energien beziehungsweise Massen herrührt und andererseits deren Bewegungszustand beeinflusst. Diese direkte Wechselwirkung zwischen Raumzeit und Energie/Masse wird als Gravitation wahrgenommen.

Massive Körper und auch Lichtstrahlen folgen den Geodäten der Raumzeit, solange keine anderen Kräfte wirken, zum Beispiel durch Reibung, Brechung oder Reflexion. Die Krümmung der Raumzeit konnte erstmals durch die Ablenkung des Lichts durch eine große Masse nachgewiesen werden. Im Allgemeinen wird davon ausgegangen, dass die Raumzeit nicht in einen höherdimensionalen Raum eingebettet ist. Deshalb hat die Raumzeit nach dieser Darstellung nur eine innere, aber keine äußere Krümmung.