Kongruenzrelation

Grundidee und Definition

Eine Kongruenzrelation ist eine Äquivalenzrelation auf einer algebraischen Struktur, die mit deren fundamentalen Operationen verträglich ist. Sie ist wichtig, weil man dadurch Elemente zu Klassen zusammenfassen und auf diesen Klassen wieder eine algebraische Struktur derselben Art definieren kann.

Für eine algebraische Struktur A = (A,(fᵢ)ᵢ∈I) und eine Äquivalenzrelation ≡ lautet die Quotientenabbildung q≡: A → A/≡, a ↦ [a]≡. Dabei bezeichnet [a]≡ die Äquivalenz- oder Kongruenzklasse von a. Zwei Elemente sind genau dann kongruent, wenn sie derselben Klasse angehören: a ≡ b ⇔ [a]≡ = [b]≡.

Die Relation ≡ ist genau dann eine Kongruenzrelation, wenn jede fundamentale Operation fᵢ mit ihr verträglich ist. Aus a₁ ≡ b₁, …, aₙᵢ ≡ bₙᵢ muss also folgen: fᵢ(a₁,…,aₙᵢ) ≡ fᵢ(b₁,…,bₙᵢ). Diese Bedingung stellt sicher, dass das Ergebnis einer Operation nicht davon abhängt, welche Vertreter einer Kongruenzklasse gewählt werden.

Auf der Quotientenmenge A/≡ entsteht dann die Faktor- oder Quotientenalgebra A/≡. Ihre Operationen werden durch fᵢ,≡([a₁]≡,…,[aₙᵢ]≡) := [fᵢ(a₁,…,aₙᵢ)]≡ definiert. Die Quotientenabbildung ist dabei ein surjektiver Homomorphismus, also eine strukturerhaltende Abbildung, die jedes Element der Quotientenalgebra erreicht.

Kern eines Homomorphismus

Sind A und B algebraische Strukturen gleicher Art und ist φ: A → B ein Homomorphismus, dann bilden genau diejenigen Elemente ein Paar im Kern, die unter φ dasselbe Bild besitzen: ker φ := {(a,b) ∈ A × A | φ(a) = φ(b)}. Dieser Kern ist eine Kongruenzrelation auf A.

Die Kongruenzklasse eines Elements a besteht aus allen Elementen, die auf φ(a) abgebildet werden: [a]≡ = φ⁻¹({φ(a)}).

Nach dem Homomorphiesatz lässt sich φ in drei strukturerhaltende Abbildungen zerlegen: φ = iφ ∘ φ≡ ∘ q≡. Zuerst bildet die surjektive Quotientenabbildung q≡ ein Element auf seine Kongruenzklasse ab. Danach ordnet die bijektive Abbildung φ≡: A/≡ → φ(A), [a]≡ ↦ φ(a) der Klasse ihr gemeinsames Bild zu. Schließlich bettet die injektive Inklusionsabbildung iφ die Bildmenge φ(A) in B ein.

Quotienten allgemeiner Strukturen

Das Prinzip lässt sich von algebraischen Operationen auf Strukturen mit Relationen verallgemeinern. Sei A = (A,(Rᵢ)ᵢ∈I) eine solche Struktur. Von besonderer Bedeutung sind Äquivalenzrelationen ≡, deren Quotientenabbildung q≡: A → A/≡ mit der Struktur verträglich, also ein Homomorphismus ist.

Auf A/≡ erhält man dann eine Faktor- oder Quotientenstruktur derselben Art. Die zugehörigen Relationen werden durch ([a₁]≡,…,[aₙᵢ]≡) ∈ Rᵢ,≡ ⇔ (a₁,…,aₙᵢ) ∈ Rᵢ definiert. Insbesondere müssen auch alle Funktionen, die zur ursprünglichen Struktur gehören, mit ≡ verträglich sein.

Gruppen, Moduln und Ringe

Bei einer Gruppe G = (G,) entsprechen die Kongruenzrelationen genau den Normalteilern. Ein Normalteiler N ist eine normale Untergruppe. Seine Nebenklassen sind aN := {an | n ∈ N}. Die Menge G/N := {aN | a ∈ G} bildet mit dem Komplexprodukt die Faktorgruppe G/N; ihr neutrales Element ist N = eN.

Die Abbildung φN: G → G/N, a ↦ aN ist ein Gruppenhomomorphismus. Ihr Kern liefert die Kongruenzrelation ≡N, für die gilt: a ≡N b ⇔ aN = bN. Umgekehrt bestimmt jede Kongruenzrelation ≡ auf G genau einen Normalteiler, nämlich die Klasse [e]≡ des neutralen Elements. Bei einem Gruppenhomomorphismus φ: G → H wird deshalb auch dieser Normalteiler als Kern von φ bezeichnet.

Eine additive abelsche Gruppe G = (G,+) heißt Modul. Da in einer abelschen Gruppe jede Untergruppe M normal ist, entsprechen ihre Untergruppen den Kongruenzrelationen. Entsprechendes gilt für Untermoduln eines Moduls über einem Ring und für Untervektorräume eines Vektorraums.

Die Nebenklasse a + M := {a + m | m ∈ M} heißt Restklasse nach M oder modulo M; G/M heißt Restklassenmodul. Die zugehörige Kongruenz lässt sich schreiben als a ≡ b mod M. Es gilt: a ≡ b mod M ⇔ −b + a ∈ M. Ist M durch ein Element m erzeugt, also M = ⟨m⟩ := {ζm | ζ ∈ ℤ}, schreibt man a ≡ b mod m.

Ein Ring R = (R,+,·) ist als additive Struktur ein Modul über sich selbst. Seine Untermoduln sind genau seine Ideale. Daher entsprechen die Ringideale genau den Kongruenzrelationen auf R.

Grundlegende und typische Beispiele

Zwei Kongruenzrelationen gibt es auf jeder algebraischen Struktur A:

• Die Identitätsrelation IA := {(a,b) ∈ A × A | a = b} = {(a,a) | a ∈ A} setzt nur gleiche Elemente miteinander in Beziehung.

• Die All- oder Universalrelation UA := A × A setzt jeweils alle Elemente miteinander in Beziehung.

Für ganze Zahlen α, β und μ ist die Kongruenz modulo μ definiert durch α ≡ β mod μ ⇔ α − β ∈ (μ), wobei (μ) := ℤμ = {ζμ | ζ ∈ ℤ} das von μ erzeugte Hauptideal ist. Gleichwertig dazu haben α und β bei der Division durch μ denselben Rest. Die Kongruenzklassen heißen daher auch Restklassen modulo μ.

Ein weiteres Beispiel stammt aus der Analysis. Im Vektorraum ℒᵖ der p-fach integrierbaren Funktionen für 0 < p ≤ ∞ bildet 𝒰₀ := {f ∈ ℒᵖ | f(x) = 0 fast überall} einen Unterraum. Der Quotientenvektorraum (Lᵖ,+) := (ℒᵖ/𝒰₀,+) heißt Lᵖ-Raum. Funktionen werden hier also zusammengefasst, wenn sie sich nur auf einer Menge unterscheiden, außerhalb derer ihre Differenz fast überall null ist.

Daneben verwendet die Mathematik das Wort „Kongruenz“ auch in anderen Begriffen, etwa bei kongruenten Zahlen und in der Geometrie.