Gleichförmige Kreisbewegung

Grundidee der Bewegung

Eine gleichförmige Kreisbewegung ist eine Rotation, bei der sich ein Körper auf einer Kreisbahn bewegt und seine Bahngeschwindigkeit konstant bleibt. Anders als bei einer geradlinig gleichförmigen Bewegung ändert sich dennoch die Richtung des Geschwindigkeitsvektors ständig; nur sein Betrag bleibt gleich.

Die Geschwindigkeit entlang der Kreisbahn heißt Tangential- oder Umlaufgeschwindigkeit. Bei einer einfachen Kreisbewegung sind Radialgeschwindigkeit und Axialgeschwindigkeit null. Kreisbewegungen sind besonders für Kinematik und Dynamik wichtig.

Weg, Winkel und Umlaufdauer

Eine Kreisbahn liegt in einer Ebene und besitzt zu ihrem Mittelpunkt den konstanten Radius R. Die zurückgelegte Strecke ist die Bogenlänge:

s(t)=R·φ(t)

Die Bewegung kann durch den Winkel φ und seine Änderungsrate, die Winkelgeschwindigkeit ω, beschrieben werden. Bei gleichförmiger Kreisbewegung gilt:

dφ/dt=ω ist konstant.

Damit ist auch der Betrag der Bahngeschwindigkeit konstant:

v=ds/dt=R·dφ/dt=R·ω.

Nach einem vollständigen Umlauf ist φ=2π. Die dafür benötigte Umlaufdauer T lautet daher:

T=2π/ω.

Richtung und Betrag der Beschleunigung

Der Geschwindigkeitsvektor v ist tangential zur Kreisbahn, steht also senkrecht auf dem Radiusvektor r, und zeigt in Bewegungsrichtung:

r ⟂ v.

Weil sich die Richtung von v ändert, ist eine Beschleunigung nötig. Der Beschleunigungsvektor a steht senkrecht auf v und zeigt zum Kreismittelpunkt:

v ⟂ a.

Sein Betrag ergibt sich mit der Kleinwinkelnäherung zu:

|a|=v·ω=R·ω²=v²/R.

Da diese Beschleunigung stets zum Mittelpunkt gerichtet ist, heißt sie Zentripetalbeschleunigung. In Verbindung mit der Masse wird auch die zugehörige Kraft Zentripetalkraft genannt.

Darstellung in Polarkoordinaten

In kartesischen Koordinaten kann der Ortsvektor eines Teilchens auf der Kreisbahn geschrieben werden als:

r=(R cos φ, R sin φ).

Dabei ist R der konstante Abstand zum Ursprung, dem Zentrum der Kreisbewegung, und φ der Winkel zur x-Achse. In Polarkoordinaten gilt:

r=R e_r,

wobei e_r der Einheitsvektor in radialer Richtung ist. Die Geschwindigkeit ist die zeitliche Ableitung des Ortsvektors. Da sich bei konstantem R nur die Richtung ändert, folgt:

v=d r/dt=R·dφ/dt·e_φ=Rω e_φ.

Der Einheitsvektor e_φ zeigt tangential zur Bahn.

Beschleunigung und Relativität

Für die Beschleunigung in Polarkoordinaten gilt mit d e_φ/dt=−ω e_r:

a(t)=d v/dt=−Rω² e_r(t).

Das Minuszeichen kennzeichnet die zum Mittelpunkt gerichtete, radiale Beschleunigung.

In der speziellen Relativitätstheorie wird der Kreisorbit für den rotierenden Beobachter lorentzkontrahiert: U'=U/γ. Zusammen mit der Zeitdilatation ergibt sich aber dieselbe Geschwindigkeit:

v=U'/T'=(U/γ)·(γ/T)=U/T.

Der Krümmungsradius unterscheidet sich jedoch: R'≠R=r, obwohl r'=r gilt, weil der Radius stets orthogonal zur Relativbewegung ist. Es gilt:

R'=U'/(2π)=R/γ,

und damit:

ω'=v/R'=ωγ.

Über die Zeitdilatation besteht wie beim Zwillingsparadoxon Einigkeit; sie wird auf die Uhrenresynchronisierung durch die beständige kinematische Beschleunigung zum Zentrum zurückgeführt.